Xây dựng các hệ thức lượng trong tam giác để giải bài thi HSG MTCT HH12

 

Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $BC$ ta lấy điểm $M$ và trên cạnh $AC$ ta lấy điểm $D$. Cho biết $\dfrac{MB}{MC}=a$ và $\dfrac{DC}{DA}=b$. Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $BD$. Tính $IA, IB$. Từ đó tính $IC$.

 

me

 

Đây là loại toán hình học thường cho thi các năm từ 2021 trở về trước. Năm 2022 bài toán chuyển sang phép quay.

 

Áp dụng định lý Mê-nê-la-uyt vào tam giác $AMC$ với cát tuyến $BID$ ta có:
$$\dfrac{\color{blue}AI}{\color{blue}MI}\times \dfrac{\color{blue}MB}{\color{blue}CB}\times\dfrac{\color{blue}CD}{\color{blue}AD}=1$$

Vậy $$\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{1}{\dfrac{BM}{BC}\times \dfrac{DC}{DA}}$$
Tương tự:$$\dfrac{IB}{ID}=\dfrac{1}{\dfrac{AD}{AC}\times \dfrac{MC}{MB}}$$

 

Áp dụng:

 

 

Cho tam giác $ABC$ với kích thước: $AB=5,7, BC=8,3, AC=7,6$, trung tuyến $AM$ và đường phân giác trong $BD$ cắt nhau tại $I$. Tính IA, IB, IC.

 

 

Trong bài này ta tính $IB$ sau đó dùng định lý hàm cos để tính $IA$ và $IC$. Ta có nhận xét:

 

$\widehat{ABC}=\arccos\left(\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2.BA.BC}\right)$ hamcos1a lưu vào z.

 

 

$\dfrac{IB}{ID} = \dfrac{1}{\dfrac{AD}{AC}\times \dfrac{MC}{MB}} = \dfrac{1}{\dfrac{BA}{BA+BC}}$ (do $\dfrac{MC}{MB}=1$ và $\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}$)

Vậy $$\dfrac{IB}{BD}=\dfrac{1}{1+\dfrac{BA}{BA+BC}}\Rightarrow IB=\dfrac{2BC.BA.\cos\dfrac{B}{2}}{BC+BA}\times \dfrac{1}{1+\dfrac{BA}{BA+BC}}$$

Thu gọn $$IB=\dfrac{2BC.BA.\cos\dfrac{B}{2}}{BC+2BA}$$

hamcos1b lưu vào B.

 

 

$IA=\sqrt{BI^2+BA^2-2BI.BA.\cos\dfrac{B}{2}}$ hamcos1c lưu vào A.

 

$IC=\sqrt{BI^2+BC^2-2BI.BC.\cos\dfrac{B}{2}}$ hamcos1d lưu vào C.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

BỒ ĐỀ THI HKII LỚP 11

BITEXEDU gửi quý thầy, cô và các bạn học sinh lớp 11 bộ đề thi …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết