BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Xây dựng các hệ thức lượng trong tam giác để giải bài thi HSG MTCT HH12
- 04/01/2023
- 967 lượt xem
| Cho tam giác $ABC$. Trên cạnh $BC$ ta lấy điểm $M$ và trên cạnh $AC$ ta lấy điểm $D$. Cho biết $\dfrac{MB}{MC}=a$ và $\dfrac{DC}{DA}=b$. Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $BD$. Tính $IA, IB$. Từ đó tính $IC$. |
Đây là loại toán hình học thường cho thi các năm từ 2021 trở về trước. Năm 2022 bài toán chuyển sang phép quay.
Áp dụng định lý Mê-nê-la-uyt vào tam giác $AMC$ với cát tuyến $BID$ ta có:
$$\dfrac{\color{blue}AI}{\color{blue}MI}\times \dfrac{\color{blue}MB}{\color{blue}CB}\times\dfrac{\color{blue}CD}{\color{blue}AD}=1$$
Vậy $$\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{1}{\dfrac{BM}{BC}\times \dfrac{DC}{DA}}$$
Tương tự:$$\dfrac{IB}{ID}=\dfrac{1}{\dfrac{AD}{AC}\times \dfrac{MC}{MB}}$$
Áp dụng:
| Cho tam giác $ABC$ với kích thước: $AB=5,7, BC=8,3, AC=7,6$, trung tuyến $AM$ và đường phân giác trong $BD$ cắt nhau tại $I$. Tính IA, IB, IC. |
Trong bài này ta tính $IB$ sau đó dùng định lý hàm cos để tính $IA$ và $IC$. Ta có nhận xét:
$\widehat{ABC}=\arccos\left(\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2.BA.BC}\right)$ 
lưu vào z.
$\dfrac{IB}{ID} = \dfrac{1}{\dfrac{AD}{AC}\times \dfrac{MC}{MB}} = \dfrac{1}{\dfrac{BA}{BA+BC}}$ (do $\dfrac{MC}{MB}=1$ và $\dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}$)
Vậy $$\dfrac{IB}{BD}=\dfrac{1}{1+\dfrac{BA}{BA+BC}}\Rightarrow IB=\dfrac{2BC.BA.\cos\dfrac{B}{2}}{BC+BA}\times \dfrac{1}{1+\dfrac{BA}{BA+BC}}$$
Thu gọn $$IB=\dfrac{2BC.BA.\cos\dfrac{B}{2}}{BC+2BA}$$
lưu vào B.
$IA=\sqrt{BI^2+BA^2-2BI.BA.\cos\dfrac{B}{2}}$ 
lưu vào A.
$IC=\sqrt{BI^2+BC^2-2BI.BC.\cos\dfrac{B}{2}}$ 
lưu vào C.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
