Về một số tích phân VDC dẫn đến PTVP

Bài tích phân này của trường Chuyên Lam Sơn (Thanh Hóa) năm 2022, lời giải được các thầy cô của https://toanmath.com/ trình bày khá chi tiết.

Ta xét phương trình như sau:
$$y’=y.p(x)+q(x)$$
ở đây để cho gọn ta viết $y$ thay cho $f(x)$ và $y’$ thay cho $f'(x)$.

1. $\color{blue}\bullet$ Gọi $P(x)$ là một nguyên hàm của $p(x)$. Đặt $u(x)=e^{-P(x)}$.
2. $\color{blue}\bullet$ Nhân hai vế của phương trình đã cho với $u(x)$. Phương trình tương đương với $$y’.u(x)+y.u'(x)=q(x).u(x)$$
3. $\color{blue}\bullet$ Vế trái là đạo hàm của $y.u(x)$ nên lấy tích phân xác định hai vế từ $a$ đến $b$ ta có: $$y.u(x)\Big|_a^b=\int_a^bq(x).u(x)dx$$

Áp dụng:

$p(x)=\cot x \Rightarrow P(x)=\ln\sin x$ (ta xét $x \in\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{2}\right]$). Đặt $u(x)=e^{-P(x)}=\dfrac{1}{\sin x}$. Nhân hai vế của phương trình cho $u(x)$. Ta có:

$$\left(f(x).\dfrac{1}{\sin x}\right)’=2x\Rightarrow f(x).\dfrac{1}{\sin x}\Big|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}2xdx$$
Vậy $\dfrac{\pi^2}{4}-2f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=$

Cuối cùng

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.