Vấn đề tìm nguyên hàm của hàm số vô tỷ (ii)

Kỳ trước chúng tôi đề cập đến việc tính tích phân $\int{\frac{1}{1+{{x}^{3}}}dx}$ và đã tính ra được kết quả đẹp. Cụ thể là: $$\int{\dfrac{1}{1+{{x}^{3}}}dx=\dfrac{1}{3}\ln \left| x+1 \right|-\dfrac{1}{6}\ln \left| {{x}^{2}}-x+1 \right|+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\arctan \dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}+C}$$ Tuy không sử dụng trong kỳ thi trắc nghiệm, nhưng việc tính được tích phân này rèn luyện thêm kỹ năng tính toán cho học sinh và tăng thêm kinh nghiệm tính tích phân cho giáo viên.

Tiếp tục lộ trình, chúng tôi mời các bạn cùng với chúng ta cùng tính $\int{\frac{1}{1+{{x}^{4}}}dx}$.

Tính $\int{\frac{1}{1+{{x}^{4}}}dx}$

Trước khi bắt đầu công việc chúng tôi nhắc lại công thức sau đây:

$$\int{\frac{d\text{x}}{a{{x}^{2}}+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{-\Delta }}}\arctan \frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta }}+C$$

Trong đó $\Delta ={{b}^{2}}-4ac<0$.

Ta có: $\dfrac{1}{1+{{x}^{4}}}=\dfrac{Ax+B}{{{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1}+\dfrac{Cx+D}{{{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1}$

Bằng phương pháp hệ số bất định, giải hệ bốn phương trình tuyến tính

$$\left\{ \begin{aligned}  & A+C=0 \\ & -A\sqrt{2}+B+C\sqrt{2}+D=0 \\ & A-B\sqrt{2}+C+D\sqrt{2}=0 \\ & B+D=0 \\\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}  & A=\frac{\sqrt{2}}{4} \\ & B=\frac{1}{2} \\ & C=-\frac{\sqrt{2}}{4} \\ & D=\frac{1}{2} \\\end{aligned} \right.$$

tp21

Kết quả

tp22 tp23 tp24 tp25

Lưu hai nghiệm $x$ vào $A$ và $z$ vào $C$, tính $AC$ ta được

tp26

Vậy: $$\frac{1}{1+{{x}^{4}}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\left[ \frac{2x+\sqrt{2}+\sqrt{2}}{{{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1}-\frac{2x-\sqrt{2}-\sqrt{2}}{{{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1} \right]$$

Suy ra:

$$\int{\frac{dx}{1+{{x}^{4}}}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\ln \left| \frac{{{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1}{{{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1} \right|+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \frac{2x+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \frac{2x-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+C$$

Do đó

$$\int{\frac{dx}{1+{{x}^{4}}}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\ln \left| \frac{{{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1}{{{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1} \right|+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \left( x\sqrt{2}+1 \right)+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \left( x\sqrt{2}-1 \right)+C$$

Kiểm tra trên máy tính Casio fx-580VNX

Mở w8 nhập hàm số

tp30

Cho $x$ chạy

tp27.1

Kểt quả là

tp28 tp29

45 giá trị của $x$ đều cho kết quả là hằng $C=0$

Kết luận

$$\int{\frac{dx}{1+{{x}^{4}}}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\ln \left| \frac{{{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1}{{{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1} \right|+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \left( x\sqrt{2}+1 \right)+\frac{\sqrt{2}}{4}\arctan \left( x\sqrt{2}-1 \right)+C$$

Từ kết quả trên, ta có thể áp dụng nó để tính nguyên hàm của hàm số  $f\left( x \right)=\sqrt{\tan x}$. Tuy nhiên, diễn đàn sẽ để lại bài toán này trong bài viết sau. Diễn đàn thân mời các bạn tham gia viết lời giải tự luận cho nguyên hàm nói trên. Các bạn nhớ đón đọc bài viết sau của diễn đàn nhé.

TS. Nguyễn Thái Sơn – Vũ Nhân Khánh

Chia sẻ

About Bitex Khánh Vũ

Bitex Khánh Vũ

Bài Viết Tương Tự

featured math exam tips

Ba cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (3)

Sử dụng công thức $$d(AB,CD)=\dfrac{12V_{ABCD}}{\sqrt{4.AB^2.CD^2-\left(AC^2+BD^2-AD^2-BC^2\right)^2}}$$   Tính $d(AB’,A’C’)$. Xét tứ diện $AB’A’C’$, ba cặp cạnh …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết