Vài bổ đề để giải câu 49 Chuyên Lam Sơn (Thanh Hoá) 21/6/2020

Bổ đê 1: Định lý Mê-nê-la-uyt

Cho tam giác $ABC$ cát tuyến $d$ cắt $AB, BC, CA$ lần lượt tại $M, N, P$.  Ta có hệ thức:

$$\dfrac{MA}{MB}\times \dfrac{NB}{NC}\times \dfrac{PC}{PA}=1$$

me 1

Chứng minh:

Từ $C$ vẽ đường thẳng song song với $AB$ cắt $MN$ tại $D$.

Áp dụng định lý Thalès vào tam giác $BMN$ ta có:

$$\dfrac{NB}{NC}=\dfrac{BM}{CD}$$

Áp dụng định lý Thalès vào tam giác $PAM$ ta có:

$$\dfrac{PC}{PA}=\dfrac{CD}{AM}$$

Nhân hai đẳng thức trên với nhau vế theo vế, ta có:

$$\dfrac{NB}{NC}\times \dfrac{PC}{PA}= \dfrac{MB}{MA}$$

Suy ra $$\dfrac{NB}{NC}\times \dfrac{PC}{PA}\times \dfrac{MA}{MB}=1$$

Đó là điều phải chứng minh.

Áp dụng: Cho tam giác $A, B, C$.  Gọi $M$ là trung điểm $BC$, $G$ là điểm trên cạnh $AC$ kéo dài về phía $C$ một đoạn sao cho $GC=\dfrac13GA$. Đđường thẳng $GM$ cắt $AB$ tại $H$. Tính các tỉ số $\dfrac{GM}{GH}$ và $\dfrac{HA}{HB}$.

Giải

me

Áp dụng định lý Mê-nê-lu-uyt cho tam giác $ABC$, cát tuyến $HMG$:
$$\dfrac{H\dots }{H\dots }\times \dfrac{M\dots }{M\dots }\times \dfrac{G\dots }{G\dots }=1$$

$$\dfrac{HA}{HB}\times \dfrac{MB}{MC}\times \dfrac{GC}{GA}=1\Rightarrow \dfrac{HA}{HB}=3$$

Áp dụng định lý Mê-nê-lu-uyt cho tam giác $AHG$, cát tuyến $BMC$:
$$\dfrac{B\dots }{B\dots }\times \dfrac{M\dots }{M\dots }\times \dfrac{C\dots }{C\dots }=1$$

$$\underbrace{\dfrac{BA}{BH}}_{4}\times \dfrac{MH}{MG}\times \underbrace{\dfrac{CG}{CA}}_{\dfrac12}=1\Rightarrow \dfrac{MH}{MG}=\dfrac12\Rightarrow \dfrac{GM}{GH}=\dfrac23$$

Bổ đê 2: Tỉ số diện tích

tg

Cho tam giác $ABC$. Trên $AB$ lấy điểm $M$, trên $AC$ lấy điểm $N$. Khi đó 

$$\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AB}\times \dfrac{AN}{AC}$$

Chứng minh: 

$$\dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM.AN.\sin A}{AB.AC.\sin A}=\dfrac{AM}{AB}\times \dfrac{AN}{AC}$$ Đó là đpcm.

Bổ đê 2: Tỉ số thể tích

td

Cho tứ diện $ABCD$. Trên $AB$ lấy điểm $E$, trên $AC$ lấy điểm $F$, trên $AD$ lấy điểm $G$. Khi đó 

$$\dfrac{V_{AEFG}}{S_{ABCD}}=\dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{AF}{AC}\times \dfrac{AG}{AD}$$

 

Nếu mặt phẳng $(EFG)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$ thì 

$$\dfrac{V_{AEFG}}{S_{ABCD}}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^3$$

 

Chứng minh:

tstt 1

Nếu mặt phẳng $(EFG)$ song song với mặt phẳng $(BCD)$ thì $EF$ song song với $BC$ và $EG$ song song với $BD$. Khi đó:

$$\dfrac{V_{AEFG}}{V_{ABCD}}=\dfrac{d(A,(EFG))\times S_{EFG}}{d(A,(BCD))\times S_{BCD}}=\dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{EF.EG}{BC.BD}=\dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{EF}{BC}\times \dfrac{EG}{BD}=\dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{AE}{AB}=\left(\dfrac{AE}{AB}\right)^3$$

Nếu mặt phẳng $(EFG)$ không song song với mặt phẳng $(BCD)$ thì ta vẽ $EH$ song song với $BC$ căt $AC$ tại $H$ và $EI$ song song với $BD$ cắt $AD$ tại $I$.

$$\dfrac{V_{AEFG}}{V_{ABCD}}=\dfrac{V_{AEFG}}{V_{AEHI}}\times \dfrac{V_{AEHI}}{V_{ABCD}}=\dfrac{V_{EAFG}}{V_{EAHI}}\times \left(\dfrac{AE}{AB}\right)^3=\dfrac{AF}{AH}\times \dfrac{AG}{AI}\times \left(\dfrac{AE}{AB}\right)^3=$$

$$=\dfrac{AF}{\dfrac{AE}{AB}\times AC}\times \dfrac{AG}{\dfrac{AE}{AB}\times AD}\times \left(\dfrac{AE}{AB}\right)^3=\dfrac{AE}{AB}\times \dfrac{AF}{AC}\times \dfrac{AG}{AD}$$

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

vt

Tích có hướng của 4 vectơ

Một ưu điểm của máy tính CASIO fx-580VN X đó là có thể nhập vào …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết