PHẦN 6: GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TOÁN LUỸ THỪA MA TRẬN BẰNG PHƯƠNG THỨC MATRIX (II)

Trong loạt bài viết này ad đưa ra những hướng dẫn cơ bản nhất để có thể làm quen với phương thức Matrix. Từ đó ứng dụng nó để giải quyết những bài toán Đại số tuyến tính từ đơn giản đến phức tạp. Ngoài ra, loạt bài viết này còn ứng dụng phương thức ma trận để giải quyết một số bài toán trắc nghiệm ở chương trình trung học phổ thông. Phần 6 này ad sẽ sử dụng phương thức matrix để làm cái mà nó làm tốt nhất: giải quyết những bài toán về ma trận.

Trong loạt bài viết này ad đưa ra những hướng dẫn cơ bản nhất để có thể làm quen với phương thức Matrix (ma trận). Từ đó ứng dụng nó để giải quyết những bài toán Đại số tuyến tính từ đơn giản đến phức tạp. Ngoài ra, loạt bài viết này còn ứng dụng phương thức ma trận để giải quyết một số bài toán trắc nghiệm ở chương trình trung học phổ thông. Phần 6 này ad sẽ sử dụng phương thức matrix để làm cái mà nó làm tốt nhất: giải quyết những bài toán về ma trận.

IV Sử dụng phương thức matrix để giải quyết một số bài toán về ma trận

2. Giải quyết những bài toán ma trận bằng phương pháp nhị thức Newton

Bài toán ma trận 6:

Cho ma trận $latex M=\left( \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 2  \\\end{matrix} \right)$. Tính $latex {{M}^{n}}$ ứng với mọi $latex n$ nguyên dương cho trước.

(Trích đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc năm 1995)

Hướng dẫn

*Trên máy tính Casio fx-570VN Plus

Ta có: $latex M=\left( \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 2  \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   1 & 1  \\   1 & 1  \\\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\\end{matrix} \right)=A+{{I}_{2}}$

Nhập ma trận $latex A,{{I}_{2}}$ vào máy tính

image006 7image007 11

Ta tính thử một số ma trận luỹ thừa của $latex A$:

$latex {{A}^{2}}$image010 6image011 11

$latex {{A}^{3}}$image013 11image014 7

$latex {{A}^{4}}$image016 5image017 9

Vậy ta có thể dự đoán $latex {{A}^{n}}=\left( \begin{matrix}   {{2}^{n-1}} & {{2}^{n-1}}  \\   {{2}^{n-1}} & {{2}^{n-1}}  \\\end{matrix} \right)={{2}^{n-1}}\left( \begin{matrix}   1 & 1  \\   1 & 1  \\\end{matrix} \right)$.

Chứng minh quy nạp ta được $latex {{A}^{n}}={{2}^{n-1}}\left( \begin{matrix}   1 & 1  \\   1 & 1  \\\end{matrix} \right)$.

Từ đó ta có:

$$ {{M}^{n}}={{\left( A+{{I}_{2}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{A}^{n-k}}{{I}_{2}}^{k}} = \sum\limits_{k=0}^{n-1}{C_{n}^{k}{{2}^{n-k-1}}A}+{{I}_{2}}=\dfrac{{{3}^{n}}-1}{2}A+{{I}_{2}} =\left[ \begin{matrix}   \dfrac{{{3}^{n}}+1}{2} & \dfrac{{{3}^{n}}-1}{2}  \\   \dfrac{{{3}^{n}}-1}{2} & \dfrac{{{3}^{n}}+1}{2}  \\ \end{matrix} \right]$$

Vậy $latex {{M}^{n}}=\left[ \begin{matrix}   \dfrac{{{3}^{n}}+1}{2} & \dfrac{{{3}^{n}}-1}{2}  \\   \dfrac{{{3}^{n}}-1}{2} & \dfrac{{{3}^{n}}+1}{2}  \\\end{matrix} \right]$.

*Trên máy tính Casio fx-580VN X

Ta có: $M=\left( \begin{matrix}   2 & 1  \\   1 & 2  \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   1 & 1  \\   1 & 1  \\\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}   1 & 0  \\   0 & 1  \\\end{matrix} \right)=A+{{I}_{2}}$

Nhập ma trận $A$ vào máy tính

image025 3

Ta tính thử một số ma trận luỹ thừa của $A$:

${{A}^{2}}$image026 3image027 1

${{A}^{3}}$image028 5image029 2

${{A}^{4}}$image030 3image031 2

Vậy ta có thể dự đoán ${{A}^{n}}=\left( \begin{matrix}   {{2}^{n-1}} & {{2}^{n-1}}  \\   {{2}^{n-1}} & {{2}^{n-1}}  \\\end{matrix} \right)={{2}^{n-1}}\left( \begin{matrix}   1 & 1  \\   1 & 1  \\\end{matrix} \right)$.

Chứng minh quy nạp ta được ${{A}^{n}}={{2}^{n-1}}\left( \begin{matrix}   1 & 1  \\   1 & 1  \\\end{matrix} \right)$.

Từ đó ta có:

$$ {{M}^{n}}={{\left( A+{{I}_{2}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{A}^{n-k}}{{I}_{2}}^{k}}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{C_{n}^{k}{{2}^{n-k-1}}A}+{{I}_{2}}=\dfrac{{{3}^{n}}-1}{2}A+{{I}_{2}}=\left[ \begin{matrix}   \dfrac{{{3}^{n}}+1}{2} & \dfrac{{{3}^{n}}-1}{2}  \\   \dfrac{{{3}^{n}}-1}{2} & \dfrac{{{3}^{n}}+1}{2}  \\\end{matrix} \right]$$

Vậy $latex {{M}^{n}}=\left[ \begin{matrix}   \dfrac{{{3}^{n}}+1}{2} & \dfrac{{{3}^{n}}-1}{2}  \\   \dfrac{{{3}^{n}}-1}{2} & \dfrac{{{3}^{n}}+1}{2}  \\\end{matrix} \right]$.

Lời bình. Khi gặp một số ma trận khó tìm được công thức chung như bài toán trên, chúng ta thử tách ma trận đã cho thành tổng của 2 ma trận có thể dự đoán được công thức chung (thông thường là ma trận luỹ linh và ma trận luỹ đẳng).

Sau đây là một số bài toán tương tự

Bài toán ma trận 7:

Cho ma trận $latex A=\left[ \begin{matrix}   1 & -2 & 1  \\   -1 & 1 & 0  \\   -2 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right]$. Hãy tính $latex {{A}^{100}}$.

Hướng dẫn

*Trên máy tính Casio fx-570VN Plus

Đặt $latex A=B+{{I}_{3}}$

$latex B=\left( \begin{matrix}   0 & -2 & 1  \\   -1 & 0 & 0  \\   -2 & 0 & 0  \\\end{matrix} \right)$, từ đó $latex {{B}^{2}}=\left( \begin{matrix}   0 & 0 & 0  \\   0 & 2 & -1  \\   0& 4 & -2  \\\end{matrix} \right)$;$latex {{B}^{3}}=\left[ 0 \right]$

image038 3image039 1image040 3image041 3image042 2

Dùng khai triển New-ton, ta có:

$$ {{A}^{100}}={{\left( B+{{I}_{3}} \right)}^{100}}={{I}_{3}}+100B+\dfrac{100.99}{2}{{B}^{2}}$$

Suy ra $latex {{A}^{100}}=\left( \begin{matrix}   1 & -200 & 100  \\   -100 & 9901 & -4950  \\   -200 & 19800 & -9899  \\\end{matrix} \right)$

*Trên máy tính Casio fx-580VN X

Đặt $latex A=B+{{I}_{3}}$

$latex B=\left( \begin{matrix}   0 & -2 & 1  \\   -1 & 0 & 0  \\   -2 & 0 & 0  \\\end{matrix} \right)$, từ đó $latex {{B}^{2}}=\left( \begin{matrix}   0 & 0 & 0  \\   0 & 2 & -1  \\   0 & 4 & -2  \\\end{matrix} \right)$;$latex {{B}^{3}}=\left[ 0 \right]$

image045 2image046 2image047 2image028 6image048 1

Dùng khai triển New-ton, ta có:

$$ {{A}^{100}}={{\left( B+{{I}_{3}} \right)}^{100}}={{I}_{3}}+100B+\dfrac{100.99}{2}{{B}^{2}}$$

Suy ra $latex {{A}^{100}}=\left( \begin{matrix}   1 & -200 & 100  \\   -100 & 9901 & -4950  \\   -200 & 19800 & -9899  \\\end{matrix} \right)$

Bài toán ma trận 8:

Cho ma trận $latex A=\left( \begin{matrix}   1 & 1 & 0  \\   0 & 1 & 1  \\   0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right)$. Tính ma trận $latex {{A}^{n}}$.

Hướng dẫn

*Trên máy tính Casio fx-570VN Plus

Ta có: $latex A=\left( \begin{matrix}   1 & 1 & 0  \\   0 & 1 & 1  \\   0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   1 & 0 & 0  \\   0 & 1 & 0  \\   0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}   0 & 1 & 0  \\   0 & 0 & 1  \\   0 & 0 & 0  \\\end{matrix} \right)={{I}_{3}}+B$

Mà $latex {{B}^{2}}=\left( \begin{matrix}   0 & 0 & 1  \\   0 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 0  \\\end{matrix} \right);{{B}^{3}}=\left( \begin{matrix}   0 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 0  \\\end{matrix} \right)$.

image053 3image039 2image054 2image041 4image042 3

Nên ta có

$$ \Rightarrow {{A}^{n}}={{\left( {{I}_{3}}+B \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{I}^{n-k}}{{B}^{k}}}=I+C_{n}^{1}B+C_{n}^{2}{{B}^{2}} =I+nB+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{B}^{2}}=\left[ \begin{matrix}   1 & n & \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}  \\   0 & 1 & n  \\   0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right]$$

Vậy $latex {{A}^{n}}=\left[ \begin{matrix}   1 & n & \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}  \\   0 & 1 & n  \\   0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right]$

*Trên máy tính Casio fx-580VN X

Ta có: $latex A=\left( \begin{matrix}   1 & 1 & 0  \\   0 & 1 & 1  \\   0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}   1 & 0 & 0  \\   0 & 1 & 0  \\   0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}   0 & 1 & 0  \\   0 & 0 & 1  \\   0 & 0 & 0  \\\end{matrix} \right)={{I}_{3}}+B$

Mà $latex {{B}^{2}}=\left( \begin{matrix}   0 & 0 & 1  \\   0 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 0  \\\end{matrix} \right);{{B}^{3}}=\left( \begin{matrix}   0 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 0  \\\end{matrix} \right)$

image058 1image046 3image059 1image028 7image048 2

Nên ta có

$$ \Rightarrow {{A}^{n}}={{\left( {{I}_{3}}+B \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{I}^{n-k}}{{B}^{k}}}=I+C_{n}^{1}B+C_{n}^{2}{{B}^{2}}=I+nB+\dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{B}^{2}}=\left[ \begin{matrix}   1 & n & \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}  \\   0 & 1 & n  \\   0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right]$$

Vậy $latex {{A}^{n}}=\left[ \begin{matrix}   1 & n & \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}  \\   0 & 1 & n  \\   0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right]$

Bài toán ma trận 9:

Cho ma trận $latex A=\left( \begin{matrix}   2 & -1 & 0 & 0  \\   0 & 2 & -1 & 0  \\   0 & 0 & 2 & -1  \\   0 & 0 & 0 & 2  \\\end{matrix} \right)$. Hãy tính$latex {{A}^{n}}$.

Hướng dẫn

*Trên máy tính Casio fx-580VN X

Ta có:$latex A=\left( \begin{matrix}   2 & -1 & 0 & 0  \\   0 & 2 & -1 & 0  \\   0 & 0 & 2 & -1  \\   0 & 0 & 0 & 2  \\\end{matrix} \right)=2\left( \begin{matrix}   1 & 0 & 0 & 0  \\   0 & 1 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 1 & 0  \\   0 & 0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix}   0 & 1 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 1 & 0  \\   0 & 0 & 0 & 1  \\   0 & 0 & 0 & 0  \\\end{matrix} \right)=2I-B$

Ta lại có: $latex {{B}^{2}}=\left( \begin{matrix}   0 & 0 & 1 & 0  \\   0 & 0 & 0 & 1  \\   0 & 0 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 0 & 0  \\\end{matrix} \right);{{B}^{3}}=\left( \begin{matrix}   0 & 0 & 0 & 1  \\   0 & 0 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 0 & 0  \\   0 & 0 & 0 & 0  \\\end{matrix} \right)$

image065 1

image046 4image066 1

image060image067 2

image068image069 2

Từ đó, ta có thể tính ${{A}^{n}}$ bằng cách khai triển nhị thức Newton như sau

$$\begin{align}
{{A}^{n}}={{\left( 2{{I}_{4}}-B \right)}^{n}}&=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{2}^{n-k}}{{I}^{n-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{B}^{k}}}={{2}^{n}}I-C_{n}^{1}{{2}^{n-1}}B+C_{n}^{2}{{2}^{n-2}}{{B}^{2}}-C_{n}^{3}{{2}^{n-3}}{{B}^{3}} \\
&={{2}^{n}}I-n{{2}^{n-1}}B+\dfrac{n\left( n-1
\right)}{2}{{2}^{n-2}}{{B}^{2}}-\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2
\right)}{6}{{2}^{n-3}}{{B}^{3}}\\
&=\begin{bmatrix}
{{2}^{n}} & -n{{2}^{n-1}} & \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{2}^{n-2}} &
-\dfrac{n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)}{6}{{2}^{n-3}} \\
0 & {{2}^{n}} & -n{{2}^{n-1}} & \dfrac{n\left( n-1 \right)}{2}{{2}^{n-2}} \\
0 & 0 & {{2}^{n}} & -n{{2}^{n-1}} \\
0 & 0 & 0 & {{2}^{n}} \\
\end{bmatrix}
\end{align}$$

———————————————-

Trên đây là hướng dẫn giải quyết một số bài toán ma trận bằng máy tính casio fx-570VN Plus và casio fx-580 VNXl. Các bạn xem trên điện thoại thấy có chỗ nào chưa đẹp thì báo lại để mình chỉnh sửa nhá. Cám ơn rất nhiều.

Đón xem phần 7: PHẦN 7: GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TOÁN LUỸ THỪA MA TRẬN BẰNG PHƯƠNG THỨC MATRIX (III)

Bài viết trước: PHẦN 5: GIẢI QUYẾT NHỮNG BÀI TOÁN LUỸ THỪA MA TRẬN BẰNG PHƯƠNG THỨC MATRIX 

Chia sẻ

About Bitex Khánh Vũ

Bitex Khánh Vũ

Bài Viết Tương Tự

article 14

Giải câu 48 đề minh họa 2021

Không làm mất tính tổng quát ta có thể tịnh tiến theo trục hoành sao …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết