BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Nhân dịp xem lại bài thi tham khảo của Trường Chuyên Lam Sơn (Thanh Hoá)
- 17/05/2024
- 138 lượt xem
| Trường chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hoá thường có những bài thi thử Tốt nghiệp THPT rất có uy tín. Nhân dịp đọc lại đề thi thử năm 2018, chúng tôi muốn nhắc lại cho dễ nhớ công thức tính thể tích của khối tứ diện khi biết “nhiều chi tiết”. Hình vẽ ở dưới sẽ dùng cho phần sau, tuy nhiên vẫn tham khảo được: quy ước $A_1\equiv S$, $A_2\equiv A$, $A_3\equiv B$, $A_4\equiv C. $ |
 |
Câu 50. Cho hình chóp $S.ABC$ CÓ $SA = SB = SC = a$, $\widehat{ASB} = \widehat{ASC} = 90°, \widehat{BSC} = 60°$. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
$\qquad $A. $\displaystyle \dfrac{7\pi a^2}{6}\qquad $ B. $\displaystyle \dfrac{7\pi a^2}{3}\qquad $ C. $\displaystyle \dfrac{7\pi a^2}{18}\qquad $ D. $\displaystyle \dfrac{7\pi a^2}{12}\qquad $ |
| Lời giải thông thường: Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Khi đó vì $SA=SB=SC$ nên $SO$ là trục đường tròn. Trong tam giác $SAO$ dựng đường trung trực của $SA$ cắt $SO$ tại $I$. Ta có $I$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện $SABC$. Bán kính mặt cầu được xác định bởi $\dfrac{SA^2}{2}=SI.SO ⇔ R=\dfrac{SA^2}{2SO}$. Để tính $SO$ ta tính $OA$ bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ với các cạnh lần lượt là $a\sqrt2, a\sqrt2, a$. |
| Lời giải có sử dụng máy tính: Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện xác định bởi công thức $$R=\dfrac{S}{6V}$$ trong đó: $V=\sqrt{\dfrac{\det A}{288}}$ với $A=\left(\begin{array}{ccc} 2d_{12}^2&d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2 &d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2 \\ d_{12}^2+d_{13}^2-d_{23}^2&2d_{13}^2&d_{13}^2+d_{14}^2-d_{34}^2\\ d_{12}^2+d_{14}^2-d_{24}^2&d_{13}^2+d_{14}^2-d_{34}^2&2d_{14}^2 \end{array}\right)$. $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $a, b, c$ lần lượt là tích của các cặp cạnh đối diện của tứ diện đã cho. |
Công thức thực ra không khó nhớ. Vẽ hình (như hình vẽ) , đặt tên tuân theo thứ tự
$$d_{12} \rightarrow d_{13} \rightarrow d_{14}$$
Trên đường chéo (của ma trận) là hai lần bình phương của ba cạnh $d_{12}, d_{13}, d_{14}$.
Các chỗ còn lại của mỗi dòng và ở bên phải đường chéo là tổng bình phương của hai cạnh qua đỉnh (trong đó cạnh đầu tiên là cạnh trên đường chéo) trừ cho bình phương của cạnh thứ ba, nhớ viết đúng thứ tự (dòng 1: $12,13; 12,14$, dòng 2: $13, 14$.
Các chỗ còn lại của mỗi dòng và ở bên trái đường chéo là đối xứng tương ứng qua đường chéo.
Ma trận cụ thể của bài toán đang xét:
$$\left(\begin{array}{ccc}
2&0&0 \\
0&2&1\\
0&1&2
\end{array}\right)$$
Vì HS 12 không học định thức nên các em sẽ tính trên máy tính:
Xét bộ ba số $\sqrt2, \sqrt2, 1$ nên $S=$ 
Vậy $S_{\text{mc}=}4\pi R^2$= $\pi \times $ 
(đvdt), ta chọn B.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
