MỘT VÀI KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG

Trong bài viết này Diễn đàn sẽ giới thiệu một số khái niệm cơ bản về số phức và giới thiệu một số bài tập để các bạn có thể dễ dàng tiếp cận một số kiến thức của nó.

Kiến Thức Cần Nhớ

Các kiến thức cơ bản về số phức

Tập hợp số phức: $\mathbb{C}$.

Số phức (dạng đại số): $z=a+bi\;(a,b\in\mathbb{R})$, $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị ảo, $i^2=-1$).

$z$ là số thực $\Rightarrow$ phần ảo của $z$ bằng $0$ ($b=0$).

$z$ là thuần ảo $\Rightarrow$ phần thực của $z$ bằng $0$ ($a=0$).

Số $0$ vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau: Cho số phức $z_1=a+b\cdot i$ và $z_2=c+d\cdot i$. Khi đó

$${z_1} = {z_2} \Leftrightarrow a + bi = c + di \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c\\b = d\end{array} \right.$$

(phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau).

Các phép toán về số phức

Cho số phức $z_1=a+b\cdot i$ và $z_2=c+d\cdot i$. Khi đó

Phép cộng hai số phức:

$$z_1+z_2=(a+bi)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)\cdot i$$

Phép trừ hai số phức:

$$z_1-z_2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)\cdot i$$

Phép nhân hai số phức:

$$z_1\cdot z_2=(a+bi)\cdot (c+d i)=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot i$$

$$k.z=k\cdot (a+bi)=ka+kbi$$

Phép chia hai số phức:

$$\begin{align}
\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} &= \dfrac{{{z_1} \cdot {{\bar z}_2}}}{{{z_2} \cdot {{\bar z}_2}}}= \dfrac{{{z_1} \cdot {{\bar z}_2}}}{{|{z_2}{|^2}}}= \dfrac{{(a + bi) \cdot (c – di)}}{{{c^2} + {d^2}}}\\
&= \dfrac{{(ac + bd) + (bc – ad)i}}{{{c^2} + {d^2}}}= \dfrac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \dfrac{{bc – ad}}{{{c^2} + {d^2}}}i
\end{align}$$

Mô-đun của số phức $z$ là $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

$$|z\cdot z’|=|z||z’|$$

$$\left||z|-|z’|\right|\leq|z+z’|\leq|z|+|z’|$$

$$|\dfrac{z}z’|=\dfrac{|z|}{|z’|}$$

$$\left||z|-|z’|\right|\leq|z-z’|\leq|z|+|z’|$$

Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của $z=a+bi$ là $\bar{z}=a-bi$.

$$\bar{\bar{z}}=z$$

$$\overline{z+z’}=\bar{z}+\overline{z’}$$

$$\overline{z-z’}=\bar{z}-\overline{z’}$$

$$\bar{z}\cdot\overline{z’}=\overline{z\cdot z’}$$

$$\overline{\left(\dfrac{z}z’\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z’}}$$

$$ z\cdot\bar{z}=a^2+b^2$$

Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân:

Cho cấp số nhân có công bội $q$, số hạng đầu $u_1$.
Đặt $S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$, khi đó $$S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}\;(q\neq 1)$$

Bài Tập Mẫu

Câu 1(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020).  Mô-đun của số phức $1+2i$ bằng

A. $5$ B. $\sqrt{3}$ C. $\sqrt{5}$ D. $3$

Giải
Sử dụng công thức tính mô đun của số phức để làm.

Ta có $|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.

Bài Tập Tương Tự và Phát Triển

Câu 1. Cho số phức $z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. $z \cdot \bar{z}=-|z|$ B. $\bar{z}=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
C. $|z|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$ D. $|z|=1$

Giải
Ta có $\bar{z}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\bar{z}=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$, sai.

$z\bar{z}=1$ suy ra $z \cdot \bar{z}=-|z|$, sai.

$|z|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1;$ suy ra $|z|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$, sai.

$|z|=1$, đúng.

Câu 2. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1-i)z+4\bar{z}=7-7i$. Khi đó, mô-đun của $z$ bằng bao nhiêu?

A. $|z|=\sqrt{3}$ B. $|z|=\sqrt{5}$ C. $|z|=3$ D. $|z|=5$

Giải

Giả sử $z=a+bi(a, b\in\mathbb{R})$.

$$\begin{aligned}
(1-i) z+4 \bar{z}=7-7 i & \Leftrightarrow(1-i)(a+b i)+4(a-b i)=7-7 i \\
& \Leftrightarrow a+b i-a i+b+4 a-4 b i=7-7 i \\
& \Leftrightarrow(5 a+b)-(a+3 b) i=7-7 i \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
5 a+b=7 \\
-a-3 b=-7
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=1 \\
b=2
\end{array} \Rightarrow z=1+2 i\right.\right.
\end{aligned}$$

Vậy $|z|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ .

Câu 3. Cho hai số phức $z$ và $z’$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\bar{z}+\overline{z’}=\overline{z+z’}$
B. $|z\cdot z’|=|z|\cdot|z’|$
C. $\overline{z}\cdot\overline{z’}=\overline{z\cdot z’}$
D. $|z+z’|=|z|+|z’|$

Giải

Với hai số phức $z$ và $z’$, ta có: $|z+z’|\leq|z|+|z’|$ nên phương án D sai.

Câu 4. Cho hai số phức $z_1=1+i$ và $z_2=-5+2i$. Tính mô-đun của số phức $z_1+z_2$.

A. $5$ B. $-5$ C. $\sqrt{7}$ D. $-\sqrt{7}$

Giải

Ta có
$$z_1+z_2=(1+i)+(-5+2i)=-4+3i\Leftrightarrow|z_1+z_2|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$$

Câu 5. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(2z-1)(1+i)+(\bar{z}+1)(1-i)=2-2i$. Giá trị của $|z|$ là

A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ B. $\sqrt{2}$ C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ D. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$

Giải

Gọi $z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$ ta có:

\[\begin{array}{l}
\left( {2z – 1} \right)\left( {1 + i} \right) + \left( {\overline z + 1} \right)\left( {1 – i} \right) = 2 – 2i\\
\Leftrightarrow \left[ {\left( {2a – 1} \right) + 2bi} \right]\left( {1 + i} \right) + \left[ {\left( {a + 1} \right) – bi} \right]\left( {1 – i} \right) = 2 – 2i\\
\Leftrightarrow \left( {2a – 2b – 1} \right) + \left( {2a + 2b – 1} \right)i = \left( {a – b + i} \right) – \left( {a + b + 1} \right)i = 2 – 2i\\
\Leftrightarrow \left( {3a – 3b} \right) + \left( {a + b – 2} \right) = 2 – 2i\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a – 3b = 2\\
a + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{3}\\
b = – \frac{1}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\]

Vậy $|z|=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$}.

Câu 6.
Cho số phức $z=(3-2i)(1+i)^2$. Môđun của $w=iz+\bar{z}$ là

A. $2$ B. $2\sqrt{2}$ C. $1$ D. $\sqrt{2}$

Giải

Ta có

$$z=(3-2 i)(1+i)^{2}=(3-2 i) 2 i=4+6 i \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
i z=i(4+6 i)=-6+4 i \\
\bar{z}=4-6 i
\end{array}\right.$$

Mà $w=iz+\bar{z}=-6+4i+4-6i=-2-2i\Rightarrow|w|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} $.

Câu 7. Cho số phức $z$ thỏa $\bar{z}=\dfrac{(\sqrt{3}+i)^3}{i-1}$. Môđun của số phức $\bar{z}+iz$ là

A. $2\sqrt{2}$ B. $4\sqrt{2}$ C. $0$ D. $16$

Giải

Ta có $\bar{z}=\dfrac{(\sqrt{3}+i)^3}{i-1}=4-4i\Rightarrow z=4+4i$.\\
Suy ra $\bar{z}+iz=4-4i+i(4+4i)=0\Rightarrow|\bar{z}+iz|=0$.

Câu 8.
Cho $z=1-2i$ và $w=2+i$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. $\dfrac{w}{z}=1$ B. $|z\cdot w|=|z|\cdot|w|=5$
C. $\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}=1$ D. $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}=4+3i$

Giải

$\dfrac{w}{z}=\dfrac{2+i}{1-2i}=i$.

$\left\{\begin{array}{l}|z \cdot w|=|4-3 i|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=5 \\ |z| \cdot|w|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+1^{2}}=5\end{array} \Rightarrow|z \cdot w|=|z| \cdot|w|=5\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\left|\frac{z}{w}\right|=|-i|=\sqrt{0^{2}+(-1)^{2}}=1 \\ \frac{|z|}{|w|}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1\end{array} \Rightarrow\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}=1\right.$

$\left\{\begin{array}{l}\overline{z \cdot w}=\overline{4-3 i}=4+3 i \\ \bar{z} \cdot \bar{w}=(1+2 i)(2-i)=4+3 i\end{array} \Rightarrow \overline{z \cdot w}=\bar{z} \cdot \bar{w}=4+3 i\right.$

Câu 9. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z|=\sqrt{2}$ và $z^2$ là số thuần ảo?

A. $2$ B. $3$ C. $4$  D. $1$

Giải

Gọi $z=a+bi \; (a,b\in\mathbb{R})$. Ta có $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ và $z^2=a^2-b^2+2abi$.
Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

$$\left\{\begin{array}{l}
a^{2}+b^{2}=2 \\
a^{2}-b^{2}=0
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a^{2}=1 \\
b^{2}=1
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=\pm 1 \\
b=\pm 1
\end{array}\right.\right.\right.$$

Vậy có $4$ số phức thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 10. Tìm số phức $z$ thỏa mãn hệ thức $\left|z-(2+i)\right|=\sqrt{10}$ và $z\cdot\bar{z}=25$.

A. $z=3+4i; z=5$ B. $z=3+4i; z=-5$ C. $z=-3+4i; z=5$ D. $z=3-4i; z=-5$

Giải

Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in\mathbb{R}\Rightarrow\bar{z}=a-bi$.

$$\begin{aligned} \left|z-(2+i)\right|=\sqrt{10}&\Leftrightarrow\left|a-2+(b-1)i\right|=\sqrt{10}\\&\Leftrightarrow\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2}=\sqrt{10} \\
\\& \Leftrightarrow(a-2)^2+(b-1)^2=10(*)\end{aligned} $$ 

Ta có $z\cdot\bar{z}=25\Leftrightarrow(a+bi)(a-bi)=25\Leftrightarrow a^2+b^2=25(**)$ 
Từ $(*)$ và $(**)$ $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}(a-2)^{2}+(b-1)^{2}=10 \\ a^{2}+b^{2}=25\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=4\end{array} \vee\left\{\begin{array}{l}a=5 \\ b=0\end{array}\right.\right.\right.$

Vậy $z=3+4i; z=5$.

Câu 11. Cho số phức $z=a+bi (a, b\in\mathbb{R})$ thỏa mãn $7a+4+2bi=-10+(6-5a)i$. Tính $P=(a+b)|z|$

A. $P=\dfrac{-4\sqrt{29}}{7}$ B. $P=24\sqrt{17}$ C. $P=12\sqrt{17}$ D. $P=\dfrac{72\sqrt{2}}{49}$

Giải
Ta có

$$(7 a+4)+2 b i=-10+(6-5 a) i \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
7 a+4=-10 \\
2 b=6-5 a
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=-2 \\
b=8
\end{array}\right.\right.$$

Suy ra $P=(a+b)|z|=(a+b)\sqrt{a^2+b^2} =(-2+8)\sqrt{(-2)^2+8^2}=12\sqrt{17}$.

Câu 12.
Cho số phức $z_1=1-2i$, $z_2=2+i$. Mô-đun của số phức $w=z_1-2z_2+3$ là

A. $|w|=\sqrt{5}$ B. $|w|=5$ C. $|w|=4$ D. $|w|=\sqrt{13}$

Giải 
Ta có:
$$ \begin{aligned} w=z_1-2z_2+3&
\Leftrightarrow w=1-2i-2(2+i)+3=-4i
\\& \Leftrightarrow|w|=\sqrt{(-4)^2}=4\end{aligned} $$

Câu 13.
Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $(2+i)z+\dfrac{1-i}{1+i}=5-i$. Mô-đun của số phức $w=1+2z+z^2$ có giá trị là

A. $10$ B. $-10$ C. $100$ D. $-100$

Giải
Ta có
$$ \begin{aligned} (2+i)z+\dfrac{1-i}{1+i}=5-i&
\Leftrightarrow(2+i)z+\dfrac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=5-i
\\& \Leftrightarrow(2+i)z+\dfrac{-2i}{2}=5-i
\\& \Leftrightarrow(2+i)z=5\\&\Leftrightarrow z=\dfrac{5}{2+i}=2-i \end{aligned} $$
Suy ra $ \Rightarrow w=1+2z+z^2=(1+z)^2=(3-i)^2=8-6i\Leftrightarrow|w|=\sqrt{8^2+(-6)^2}=10$.

Câu 14.
Cho số phức $z$ thỏa $z=2i-2$. Mô-đun của số phức $z^{2020}$ là

A. $2^{4040}$ B. $2^{2020}$ C. $2^{6060}$ D. $2^{3030}$

Giải

Ta có: $$z^{2020}=2^{2020}(i-1)^{2020}=2^{2020}(-2i)^{1010}=2^{3030}i
\Rightarrow\left|z^{2020}\right|=2^{3030} $$

Câu 15.
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: $|z|^2+\left|\overline{z}\right|^2=50$ và $z+\overline{z}=8$

A. $3$ B. $2$ C. $4$ D. $1$

Giải
Đặt $z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})$, ta có $\bar{z}=x-yi,|z|^2=|\bar{z}|^2=x^2+y^2$.

Ta có:

$$\left\{\begin{array}{l}
|z|^{2}+|\bar{z}|^{2}=50 \\
z+\bar{z}=8
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=25 \\
x=4
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=4 \\
y=\pm 3
\end{array}\right.\right.\right.$$

Vậy có 2 số phức thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?

A. $(1+i)^{2020}=2^{1010}$ B. $\left|\dfrac{(1+i)^{2020}}{2^{1009}}-i\right|=\sqrt{5}$
C. $\left|(1+i)^{2020}-2^{1010}i\right|=2^{1010}$ D. $(1+i)^{2020}=(1-i)^{2020}$

Giải
$(1+i)^{2020}=(2i)^{1010}=2^{1010}$. Suy ra A đúng.
Do đó $\left|(1+i)^{2020}-2^{1010}i\right|=\left|2^{1010}-2^{1010}i\right|=2^{1010}\sqrt{2}$. Suy ra C  sai.

Câu 17. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa $\left|\dfrac{z+1}{i-z}\right|=1$ và $\left|\dfrac{z-i}{2+z}\right|=1$

A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

Giải
Ta có:

$$\left\{\begin{array}{l}
\left|\frac{z+1}{i-z}\right|=1 \\
\left|\frac{z-i}{2+z}\right|=1
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
|z+1|=|i-z| \\
|z-i|=|2+z|
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=-y \\
4 x+2 y=-3
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=-\frac{3}{2} \\
y=\frac{3}{2}
\end{array} \Rightarrow z=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2} i\right.\right.\right.\right.$$

Câu 18. Cho số phức $z=\dfrac{-m+i}{1-m(m-2i)}, m\in\mathbb{R}$. Tìm $|z|_{\max}$

A. $\dfrac{1}{2}$ B. $0$ C. $1$ D. $2$

Giải
Ta có: $z=\dfrac{-m+i}{1-m(m-2i)}=\dfrac{m}{m^2+1}+\dfrac{i}{m^2+1}\Rightarrow|z|=\sqrt{\dfrac{1}{m^2+1}}\leq 1\Rightarrow|z|_{\max} =1\Leftrightarrow m=0$.

Câu 19. Cho số phức $z=1+i^2+i^4+\cdots +i^{2n}+\cdots +i^{2020}, n\in\mathbb{N}$. Mô-đun của $z$ bằng

A. $2$ B. $2020$ C. $1010$ D. $1$

Giải
Ta có $i^2+i^4+\cdots +i^{2n}+\cdots +i^{2020}$ là tổng của cấp số nhân có công sai $q=i^2$, gồm $1010$ số hạng.\\
$z=1+i^2\dfrac{1-(i^2)^{1010}}{1-i^2}=1\Rightarrow|z|=1$.

Câu 20.
Cho số phức $z$ có phần thực và phần ảo là các số dương thỏa mãn $z+(1-i)^5\cdot\bar{z}-\dfrac{\left(\overline{2-i}\right)^3}{i^6}=3+20i$. Khi đó mô-đun của số phức $w=1+z+z^2+z^3$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $25$. B. $5$ C. $\sqrt{5}$ D. $1$

Giải
Ta có
$\left(\overline{2-i}\right)^3=(2+i)^3=8+12i+6i^2+i^3=2+11i$
$(1-i)^5=(1-i)\cdot\left[(1-i)^2\right]^2=(1-i)\cdot (-2i)^2=-4+4i$
Gọi $z=x+yi$.
Khi đó

$$\begin{aligned}
z+(1-i)^{5} \cdot \bar{z}-\frac{(\overline{2-i})^{3}}{i^{6}}=3+20 i & \Leftrightarrow x+y i+(-4+4 i) \cdot(x-y i)=1+9 i \\
& \Leftrightarrow(x-4 x+4 y)+(4 x+5 y) i=1+9 i \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x-4 x+4 y=1 \\
4 x+5 y=9
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=1 \\
y=1
\end{array} \Rightarrow z=1+i\right.\right.
\end{aligned}$$

Suy ra $w=1+(1+i)+(1+i)^2+(1+i)^3=5i\Rightarrow|w|=5$.

Chia sẻ

About Bitex Khánh Vũ

Bitex Khánh Vũ

Bài Viết Tương Tự

article 14

Giải câu 48 đề minh họa 2021

Không làm mất tính tổng quát ta có thể tịnh tiến theo trục hoành sao …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết