BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
MỘT VÀI KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG
- 10/04/2022
- 129 lượt xem
Trong bài viết này Diễn đàn sẽ giới thiệu một số khái niệm cơ bản về số phức và giới thiệu một số bài tập để các bạn có thể dễ dàng tiếp cận một số kiến thức của nó.
Kiến Thức Cần Nhớ
Các kiến thức cơ bản về số phức
Tập hợp số phức: $\mathbb{C}$.
Số phức (dạng đại số): $z=a+bi\;(a,b\in\mathbb{R})$, $a$ là phần thực, $b$ là phần ảo, $i$ là đơn vị ảo, $i^2=-1$).
$z$ là số thực $\Rightarrow$ phần ảo của $z$ bằng $0$ ($b=0$).
$z$ là thuần ảo $\Rightarrow$ phần thực của $z$ bằng $0$ ($a=0$).
Số $0$ vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức bằng nhau: Cho số phức $z_1=a+b\cdot i$ và $z_2=c+d\cdot i$. Khi đó
$${z_1} = {z_2} \Leftrightarrow a + bi = c + di \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = c\\b = d\end{array} \right.$$
(phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau).
Các phép toán về số phức
Cho số phức $z_1=a+b\cdot i$ và $z_2=c+d\cdot i$. Khi đó
Phép cộng hai số phức:
$$z_1+z_2=(a+bi)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)\cdot i$$
Phép trừ hai số phức:
$$z_1-z_2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)\cdot i$$
Phép nhân hai số phức:
$$z_1\cdot z_2=(a+bi)\cdot (c+d i)=(ac-bd)+(ad+bc)\cdot i$$
$$k.z=k\cdot (a+bi)=ka+kbi$$
Phép chia hai số phức:
$$\begin{align}
\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} &= \dfrac{{{z_1} \cdot {{\bar z}_2}}}{{{z_2} \cdot {{\bar z}_2}}}= \dfrac{{{z_1} \cdot {{\bar z}_2}}}{{|{z_2}{|^2}}}= \dfrac{{(a + bi) \cdot (c – di)}}{{{c^2} + {d^2}}}\\
&= \dfrac{{(ac + bd) + (bc – ad)i}}{{{c^2} + {d^2}}}= \dfrac{{ac + bd}}{{{c^2} + {d^2}}} + \dfrac{{bc – ad}}{{{c^2} + {d^2}}}i
\end{align}$$
Mô-đun của số phức $z$ là $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$
$$|z\cdot z’|=|z||z’|$$
$$\left||z|-|z’|\right|\leq|z+z’|\leq|z|+|z’|$$
$$|\dfrac{z}z’|=\dfrac{|z|}{|z’|}$$
$$\left||z|-|z’|\right|\leq|z-z’|\leq|z|+|z’|$$
Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của $z=a+bi$ là $\bar{z}=a-bi$.
$$\bar{\bar{z}}=z$$
$$\overline{z+z’}=\bar{z}+\overline{z’}$$
$$\overline{z-z’}=\bar{z}-\overline{z’}$$
$$\bar{z}\cdot\overline{z’}=\overline{z\cdot z’}$$
$$\overline{\left(\dfrac{z}z’\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z’}}$$
$$ z\cdot\bar{z}=a^2+b^2$$
Tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân:
Cho cấp số nhân có công bội $q$, số hạng đầu $u_1$.
Đặt $S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$, khi đó $$S_n=\dfrac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}\;(q\neq 1)$$
Bài Tập Mẫu
Câu 1(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020). Mô-đun của số phức $1+2i$ bằng
| A. $5$ | B. $\sqrt{3}$ | C. $\sqrt{5}$ | D. $3$ |
Giải
Sử dụng công thức tính mô đun của số phức để làm.
Ta có $|1+2i|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$.
Bài Tập Tương Tự và Phát Triển
Câu 1. Cho số phức $z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
| A. $z \cdot \bar{z}=-|z|$ | B. $\bar{z}=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ |
| C. $|z|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$ | D. $|z|=1$ |
Giải
Ta có $\bar{z}=\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\bar{z}=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$, sai.
$z\bar{z}=1$ suy ra $z \cdot \bar{z}=-|z|$, sai.
$|z|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=1;$ suy ra $|z|=\dfrac{\sqrt{2}}{2}i$, sai.
$|z|=1$, đúng.
Câu 2. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(1-i)z+4\bar{z}=7-7i$. Khi đó, mô-đun của $z$ bằng bao nhiêu?
| A. $|z|=\sqrt{3}$ | B. $|z|=\sqrt{5}$ | C. $|z|=3$ | D. $|z|=5$ |
Giải
Giả sử $z=a+bi(a, b\in\mathbb{R})$.
$$\begin{aligned}
(1-i) z+4 \bar{z}=7-7 i & \Leftrightarrow(1-i)(a+b i)+4(a-b i)=7-7 i \\
& \Leftrightarrow a+b i-a i+b+4 a-4 b i=7-7 i \\
& \Leftrightarrow(5 a+b)-(a+3 b) i=7-7 i \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
5 a+b=7 \\
-a-3 b=-7
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=1 \\
b=2
\end{array} \Rightarrow z=1+2 i\right.\right.
\end{aligned}$$
Vậy $|z|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ .
Câu 3. Cho hai số phức $z$ và $z’$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. $\bar{z}+\overline{z’}=\overline{z+z’}$
B. $|z\cdot z’|=|z|\cdot|z’|$
C. $\overline{z}\cdot\overline{z’}=\overline{z\cdot z’}$
D. $|z+z’|=|z|+|z’|$
Giải
Với hai số phức $z$ và $z’$, ta có: $|z+z’|\leq|z|+|z’|$ nên phương án D sai.
Câu 4. Cho hai số phức $z_1=1+i$ và $z_2=-5+2i$. Tính mô-đun của số phức $z_1+z_2$.
| A. $5$ | B. $-5$ | C. $\sqrt{7}$ | D. $-\sqrt{7}$ |
Giải
Ta có
$$z_1+z_2=(1+i)+(-5+2i)=-4+3i\Leftrightarrow|z_1+z_2|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$$
Câu 5. Cho số phức $z$ thỏa mãn $(2z-1)(1+i)+(\bar{z}+1)(1-i)=2-2i$. Giá trị của $|z|$ là
| A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | B. $\sqrt{2}$ | C. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | D. $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$ |
Giải
Gọi $z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$ ta có:
\[\begin{array}{l}
\left( {2z – 1} \right)\left( {1 + i} \right) + \left( {\overline z + 1} \right)\left( {1 – i} \right) = 2 – 2i\\
\Leftrightarrow \left[ {\left( {2a – 1} \right) + 2bi} \right]\left( {1 + i} \right) + \left[ {\left( {a + 1} \right) – bi} \right]\left( {1 – i} \right) = 2 – 2i\\
\Leftrightarrow \left( {2a – 2b – 1} \right) + \left( {2a + 2b – 1} \right)i = \left( {a – b + i} \right) – \left( {a + b + 1} \right)i = 2 – 2i\\
\Leftrightarrow \left( {3a – 3b} \right) + \left( {a + b – 2} \right) = 2 – 2i\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a – 3b = 2\\
a + b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{3}\\
b = – \frac{1}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy $|z|=\dfrac{\sqrt{2}}{3}$}.
Câu 6.
Cho số phức $z=(3-2i)(1+i)^2$. Môđun của $w=iz+\bar{z}$ là
| A. $2$ | B. $2\sqrt{2}$ | C. $1$ | D. $\sqrt{2}$ |
Giải
Ta có
$$z=(3-2 i)(1+i)^{2}=(3-2 i) 2 i=4+6 i \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
i z=i(4+6 i)=-6+4 i \\
\bar{z}=4-6 i
\end{array}\right.$$
Mà $w=iz+\bar{z}=-6+4i+4-6i=-2-2i\Rightarrow|w|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} $.
Câu 7. Cho số phức $z$ thỏa $\bar{z}=\dfrac{(\sqrt{3}+i)^3}{i-1}$. Môđun của số phức $\bar{z}+iz$ là
| A. $2\sqrt{2}$ | B. $4\sqrt{2}$ | C. $0$ | D. $16$ |
Giải
Ta có $\bar{z}=\dfrac{(\sqrt{3}+i)^3}{i-1}=4-4i\Rightarrow z=4+4i$.\\
Suy ra $\bar{z}+iz=4-4i+i(4+4i)=0\Rightarrow|\bar{z}+iz|=0$.
Câu 8.
Cho $z=1-2i$ và $w=2+i$. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
| A. $\dfrac{w}{z}=1$ | B. $|z\cdot w|=|z|\cdot|w|=5$ |
| C. $\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}=1$ | D. $\overline{z\cdot w}=\overline{z}\cdot\overline{w}=4+3i$ |
Giải
$\dfrac{w}{z}=\dfrac{2+i}{1-2i}=i$.
$\left\{\begin{array}{l}|z \cdot w|=|4-3 i|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=5 \\ |z| \cdot|w|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+1^{2}}=5\end{array} \Rightarrow|z \cdot w|=|z| \cdot|w|=5\right.$
$\left\{\begin{array}{l}\left|\frac{z}{w}\right|=|-i|=\sqrt{0^{2}+(-1)^{2}}=1 \\ \frac{|z|}{|w|}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=1\end{array} \Rightarrow\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}=1\right.$
$\left\{\begin{array}{l}\overline{z \cdot w}=\overline{4-3 i}=4+3 i \\ \bar{z} \cdot \bar{w}=(1+2 i)(2-i)=4+3 i\end{array} \Rightarrow \overline{z \cdot w}=\bar{z} \cdot \bar{w}=4+3 i\right.$
Câu 9. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z|=\sqrt{2}$ và $z^2$ là số thuần ảo?
| A. $2$ | B. $3$ | C. $4$ | D. $1$ |
Giải
Gọi $z=a+bi \; (a,b\in\mathbb{R})$. Ta có $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ và $z^2=a^2-b^2+2abi$.
Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
$$\left\{\begin{array}{l}
a^{2}+b^{2}=2 \\
a^{2}-b^{2}=0
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a^{2}=1 \\
b^{2}=1
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=\pm 1 \\
b=\pm 1
\end{array}\right.\right.\right.$$
Vậy có $4$ số phức thỏa mãn điều kiện bài toán.
Câu 10. Tìm số phức $z$ thỏa mãn hệ thức $\left|z-(2+i)\right|=\sqrt{10}$ và $z\cdot\bar{z}=25$.
| A. $z=3+4i; z=5$ | B. $z=3+4i; z=-5$ | C. $z=-3+4i; z=5$ | D. $z=3-4i; z=-5$ |
Giải
Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in\mathbb{R}\Rightarrow\bar{z}=a-bi$.
$$\begin{aligned} \left|z-(2+i)\right|=\sqrt{10}&\Leftrightarrow\left|a-2+(b-1)i\right|=\sqrt{10}\\&\Leftrightarrow\sqrt{(a-2)^2+(b-1)^2}=\sqrt{10} \\
\\& \Leftrightarrow(a-2)^2+(b-1)^2=10(*)\end{aligned} $$
Ta có $z\cdot\bar{z}=25\Leftrightarrow(a+bi)(a-bi)=25\Leftrightarrow a^2+b^2=25(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ $\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}(a-2)^{2}+(b-1)^{2}=10 \\ a^{2}+b^{2}=25\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=4\end{array} \vee\left\{\begin{array}{l}a=5 \\ b=0\end{array}\right.\right.\right.$
Vậy $z=3+4i; z=5$.
Câu 11. Cho số phức $z=a+bi (a, b\in\mathbb{R})$ thỏa mãn $7a+4+2bi=-10+(6-5a)i$. Tính $P=(a+b)|z|$
| A. $P=\dfrac{-4\sqrt{29}}{7}$ | B. $P=24\sqrt{17}$ | C. $P=12\sqrt{17}$ | D. $P=\dfrac{72\sqrt{2}}{49}$ |
Giải
Ta có
$$(7 a+4)+2 b i=-10+(6-5 a) i \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
7 a+4=-10 \\
2 b=6-5 a
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
a=-2 \\
b=8
\end{array}\right.\right.$$
Suy ra $P=(a+b)|z|=(a+b)\sqrt{a^2+b^2} =(-2+8)\sqrt{(-2)^2+8^2}=12\sqrt{17}$.
Câu 12.
Cho số phức $z_1=1-2i$, $z_2=2+i$. Mô-đun của số phức $w=z_1-2z_2+3$ là
| A. $|w|=\sqrt{5}$ | B. $|w|=5$ | C. $|w|=4$ | D. $|w|=\sqrt{13}$ |
Giải
Ta có:
$$ \begin{aligned} w=z_1-2z_2+3&
\Leftrightarrow w=1-2i-2(2+i)+3=-4i
\\& \Leftrightarrow|w|=\sqrt{(-4)^2}=4\end{aligned} $$
Câu 13.
Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $(2+i)z+\dfrac{1-i}{1+i}=5-i$. Mô-đun của số phức $w=1+2z+z^2$ có giá trị là
| A. $10$ | B. $-10$ | C. $100$ | D. $-100$ |
Giải
Ta có
$$ \begin{aligned} (2+i)z+\dfrac{1-i}{1+i}=5-i&
\Leftrightarrow(2+i)z+\dfrac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=5-i
\\& \Leftrightarrow(2+i)z+\dfrac{-2i}{2}=5-i
\\& \Leftrightarrow(2+i)z=5\\&\Leftrightarrow z=\dfrac{5}{2+i}=2-i \end{aligned} $$
Suy ra $ \Rightarrow w=1+2z+z^2=(1+z)^2=(3-i)^2=8-6i\Leftrightarrow|w|=\sqrt{8^2+(-6)^2}=10$.
Câu 14.
Cho số phức $z$ thỏa $z=2i-2$. Mô-đun của số phức $z^{2020}$ là
| A. $2^{4040}$ | B. $2^{2020}$ | C. $2^{6060}$ | D. $2^{3030}$ |
Giải
Ta có: $$z^{2020}=2^{2020}(i-1)^{2020}=2^{2020}(-2i)^{1010}=2^{3030}i
\Rightarrow\left|z^{2020}\right|=2^{3030} $$
Câu 15.
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: $|z|^2+\left|\overline{z}\right|^2=50$ và $z+\overline{z}=8$
| A. $3$ | B. $2$ | C. $4$ | D. $1$ |
Giải
Đặt $z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})$, ta có $\bar{z}=x-yi,|z|^2=|\bar{z}|^2=x^2+y^2$.
Ta có:
$$\left\{\begin{array}{l}
|z|^{2}+|\bar{z}|^{2}=50 \\
z+\bar{z}=8
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x^{2}+y^{2}=25 \\
x=4
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=4 \\
y=\pm 3
\end{array}\right.\right.\right.$$
Vậy có 2 số phức thỏa yêu cầu đề bài.
Câu 16. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?
| A. $(1+i)^{2020}=2^{1010}$ | B. $\left|\dfrac{(1+i)^{2020}}{2^{1009}}-i\right|=\sqrt{5}$ |
| C. $\left|(1+i)^{2020}-2^{1010}i\right|=2^{1010}$ | D. $(1+i)^{2020}=(1-i)^{2020}$ |
Giải
$(1+i)^{2020}=(2i)^{1010}=2^{1010}$. Suy ra A đúng.
Do đó $\left|(1+i)^{2020}-2^{1010}i\right|=\left|2^{1010}-2^{1010}i\right|=2^{1010}\sqrt{2}$. Suy ra C sai.
Câu 17. Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa $\left|\dfrac{z+1}{i-z}\right|=1$ và $\left|\dfrac{z-i}{2+z}\right|=1$
| A. $1$ | B. $2$ | C. $3$ | D. $4$ |
Giải
Ta có:
$$\left\{\begin{array}{l}
\left|\frac{z+1}{i-z}\right|=1 \\
\left|\frac{z-i}{2+z}\right|=1
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
|z+1|=|i-z| \\
|z-i|=|2+z|
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=-y \\
4 x+2 y=-3
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=-\frac{3}{2} \\
y=\frac{3}{2}
\end{array} \Rightarrow z=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2} i\right.\right.\right.\right.$$
Câu 18. Cho số phức $z=\dfrac{-m+i}{1-m(m-2i)}, m\in\mathbb{R}$. Tìm $|z|_{\max}$
| A. $\dfrac{1}{2}$ | B. $0$ | C. $1$ | D. $2$ |
Giải
Ta có: $z=\dfrac{-m+i}{1-m(m-2i)}=\dfrac{m}{m^2+1}+\dfrac{i}{m^2+1}\Rightarrow|z|=\sqrt{\dfrac{1}{m^2+1}}\leq 1\Rightarrow|z|_{\max} =1\Leftrightarrow m=0$.
Câu 19. Cho số phức $z=1+i^2+i^4+\cdots +i^{2n}+\cdots +i^{2020}, n\in\mathbb{N}$. Mô-đun của $z$ bằng
| A. $2$ | B. $2020$ | C. $1010$ | D. $1$ |
Giải
Ta có $i^2+i^4+\cdots +i^{2n}+\cdots +i^{2020}$ là tổng của cấp số nhân có công sai $q=i^2$, gồm $1010$ số hạng.\\
$z=1+i^2\dfrac{1-(i^2)^{1010}}{1-i^2}=1\Rightarrow|z|=1$.
Câu 20.
Cho số phức $z$ có phần thực và phần ảo là các số dương thỏa mãn $z+(1-i)^5\cdot\bar{z}-\dfrac{\left(\overline{2-i}\right)^3}{i^6}=3+20i$. Khi đó mô-đun của số phức $w=1+z+z^2+z^3$ có giá trị bằng bao nhiêu?
| A. $25$. | B. $5$ | C. $\sqrt{5}$ | D. $1$ |
Giải
Ta có
$\left(\overline{2-i}\right)^3=(2+i)^3=8+12i+6i^2+i^3=2+11i$
$(1-i)^5=(1-i)\cdot\left[(1-i)^2\right]^2=(1-i)\cdot (-2i)^2=-4+4i$
Gọi $z=x+yi$.
Khi đó
$$\begin{aligned}
z+(1-i)^{5} \cdot \bar{z}-\frac{(\overline{2-i})^{3}}{i^{6}}=3+20 i & \Leftrightarrow x+y i+(-4+4 i) \cdot(x-y i)=1+9 i \\
& \Leftrightarrow(x-4 x+4 y)+(4 x+5 y) i=1+9 i \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x-4 x+4 y=1 \\
4 x+5 y=9
\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
x=1 \\
y=1
\end{array} \Rightarrow z=1+i\right.\right.
\end{aligned}$$
Suy ra $w=1+(1+i)+(1+i)^2+(1+i)^3=5i\Rightarrow|w|=5$.
About Bitex Khánh Vũ
