Khối đa diện tạo bởi một tứ giác và một đoạn thẳng vẽ ngoài mặt phẳng chứa tứ giác đó
- 03/08/2020
- 165 lượt xem
Đặt vấn đề: Trong không gian cho một hình thang $ABCD$ vuông tại $A$ và tại $B$, $E$ và $F$ là hai điểm sao cho đường thẳng $EF$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính thể tích của khối đa diện tạo bởi mặt phẳng $(ABCD)$ và đoạn thẳng $EF$ nói trên. |
Đề thi thử Chuyên Vinh lần 2 / 2020
Chọn hệ trục $Axyz$ sao cho tia $Ax$ đi qua $B$, tia $Ay$ đi qua $D$ và tia $Az$ đi qua $S$, chọn $a$ làm 1 đơn vị chiều dài.
Tung độ điểm $F$ là $\dfrac53$ do đó $EF=\dfrac53 BC \Rightarrow S_{ECF}=\dfrac53S_{ECB}$.
Thể tích của khối đa diện cần tìm bằng $$V=V_{MBEC}+V_{MECF}+V_{MNCF}$$ trong đó $V_{MECF}=\dfrac53V_{MBEC}$
Vậy
$V_{\text{đa diện}}=$ $\dfrac83V_{MBEC}+V_{MNCF}.$ |
Ta có tọa độ các điểm
$$B(1;0;0), C(1;1;0),E\left(\dfrac13;0;0\right),F\left(\dfrac13;\dfrac53;0\right)$$ $$M\left(\dfrac12;0;1\right),N\left(\dfrac12;\dfrac12;1\right)$$
Để tìm thể tích của tứ diện ta lấy $\dfrac16$ giá trị tuyệt đối của định thức của ma trận cấp 4 mà mỗi dòng của ma trận là tọa độ của các đỉnh, riêng thành phần thứ 4 ta gán cho 1.
e
nhân cho đv thể tích $a^3$, ta chọn B.