Hệ phương trình Sở Giáo dục Đồng Tháp 2016

Hệ phương trình Sở Giáo dục Đồng Tháp 2016

Hệ SGD Đồng Tháp
Giải hệ phương trình sau:

[latex]\begin{cases} x+3\sqrt{xy+x-y^{2}-y}=5y+4 & (1)\\ \sqrt{4y^{2}-x-2}+\sqrt{y-1}=x-1 & (2) \end{cases}[/latex]

Điều kiện:

[latex]\begin{cases} xy+x-y^{2}-y\geq0\\ 4y^{2}-x-2\geq0\\ y-1\geq0 \end{cases}[/latex]

 

Từ phương trình (1), với điều kiện [latex]5y+4-x \geq 0[/latex],bình phương hai vế ta được:

[latex]\begin{array}{l}
{\left( {x – 5y – 4} \right)^2} – 9\left( {xy + x – {y^2} – y} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – 10xy – 8x + 25{y^2} + 40y + 16 – 9xy – 9x + 9{y^2} + 9y = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} – 19xy – 17x + 34{y^2} + 49y + 16 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x – 2y – 1} \right)\left( {x – 17y – 16} \right) = 0\\
\Leftrightarrow x = 2y + 1 \vee x = 17y + 16
\end{array}[/latex]

 

Dễ thấy với [latex] x = 17y + 16[/latex] không thỏa mãn điều kiện.
Thế [latex]x=2y+1[/latex] vào (2), ta được:

[latex]\begin{array}{l}
\sqrt {4{y^2} – 2y – 3}  + \sqrt {y – 1}  = 2y\\
\Leftrightarrow \sqrt {4{y^2} – 2y – 3}  – (2y – 1) + \sqrt {y – 1}  – 1 = 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {y – 2} \right)}}{{\sqrt {4{y^2} – 2y – 3}  + (2y – 1)}} + \dfrac{{y – 2}}{{\sqrt {y – 1}  + 1}} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {y – 2} \right)\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {4{y^2} – 2y – 3}  + (2y – 1)}} + \dfrac{1}{{\sqrt {y – 1}  + 1}}} \right)\\
\Leftrightarrow y = 2
\end{array}[/latex]

 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất [latex](x;\,y)=(5;\,2)[/latex]. 

Chia sẻ

About Admin Casio

Admin Casio

Bài Viết Tương Tự

Sử dụng Geogebra giải toán Ứng dụng toán học vào tài chính

Chuyên đề 12 – ứng dụng toán học vào tài chánh BÀI 1: PHẦN CHUẨN …