Hệ phương trình đề thi thử chuyên Bắc Ninh lần 4

Hệ phương trình đề thi thử chuyên Bắc Ninh lần 4

ĐỀ THI THỬ CHUYÊN BẮC NINH LẦN 4

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

$$\begin{cases} x^{2}+2x-\sqrt{xy+y}=y^{2}-2y+\sqrt{xy-x} & (1)\\ x^{2}-2\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{y^{2}-4x+1}}+\sqrt{y^{2}-4x+1}=0 & (2) \end{cases}$$

Giải

Phương hướng: Liên hợp phương trình (1) để xuất hiện biểu thức lien hệ giữa $x$ và $y$:

Bấm máy: SOLVE với tham số $y=100$ và tìm $x$, rồi quét nghiệm:

[​IMG]

Vậy phỏng đoán (1) có một nhân tử $x-y+1$.

Trình bày:

+ Điều kiện: $x>0,\,y\geq 1,\,y^2-4x+1>0$, biến đổi phương trình đầu của hệ, ta có:

$$\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + (x + y) + \left( {x – \sqrt {xy – x} } \right) – \left( {\sqrt {xy + y}  – y} \right) = 0\\\Leftrightarrow (x + y)\left( {x – y + 1} \right) + \dfrac{{x(x – y + 1)}}{{x + \sqrt {xy – x} }} – \dfrac{{y(x – y + 1)}}{{\sqrt {xy + y}  + y}} = 0\\\Leftrightarrow \left( {x – y + 1} \right)\left( {x + y + \dfrac{x}{{x + \sqrt {xy – x} }} – \dfrac{y}{{\sqrt {xy + y}  + y}}} \right) = 0\\\Leftrightarrow y = x + 1 \end{array}$$

Với $x>0;\,y\geq 1$, ta có:

$$\begin{array}{l}x + y + \dfrac{x}{{x + \sqrt {xy – x} }} – \dfrac{y}{{\sqrt {xy + y}  + y}}\\= x + \dfrac{x}{{x + \sqrt {xy – x} }} + y – \dfrac{y}{{\sqrt {xy + y}  + y}} > 0 \end{array}$$

Thế $y=x+1$ vào (2), ta được:

$${x^2} – 2\sqrt x  + \dfrac{2}{{\sqrt x }} – \dfrac{2}{{\sqrt {{x^2} – 2x + 2} }} + \sqrt {{x^2} – 2x + 2}  = 0$$

Có thể nhận thấy ngay phương trình có các biểu thức không đối xứng với nhau nên không thể áp dụng phương pháp hàm đặc trưng để giải quyết được, nên ta đánh giá như sau:

+ Xét hàm $f(x)=x^2-2\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}$, ta có:

$$g'(x) = \dfrac{{2{x^2}\sqrt x  – x – 1}}{{x\sqrt x }}$$

$$\begin{array}{l} g'(x) = 0\\\Leftrightarrow 2{x^2}\sqrt x  – x – 1 = 0\\\Leftrightarrow 2{x^2}\sqrt x  = x + 1\\\Leftrightarrow 4{x^5} – {x^2} – 2x – 1 = 0\\\Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {4{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} + 3x + 1} \right) = 0\\\Leftrightarrow x = 1\end{array}$$

+ Xét hàm $g(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x^2-2x+2}}-\sqrt{x^2-2x+2}$.

Ta cũng tính được $g’(x)=0 \Leftrightarrow x=1$.

Vậy phương trình xảy ra khi $x=1 \Leftrightarrow y=2$. 

Chia sẻ

About Admin Casio

Admin Casio

Bài Viết Tương Tự

Tetrahedron

Lại nói về việc vận dụng công thức góc giữa hai mặt bên của khối tứ diện

Một trong các yêu cầu thiết thực của việc giải trắc nghiệm HHKG đó là …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết