BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Hệ phương trình đề thi thử chuyên Bắc Ninh lần 4
- 31/10/2017
- 178 lượt xem
Hệ phương trình đề thi thử chuyên Bắc Ninh lần 4
ĐỀ THI THỬ CHUYÊN BẮC NINH LẦN 4
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
$$\begin{cases} x^{2}+2x-\sqrt{xy+y}=y^{2}-2y+\sqrt{xy-x} & (1)\\ x^{2}-2\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}-\dfrac{2}{\sqrt{y^{2}-4x+1}}+\sqrt{y^{2}-4x+1}=0 & (2) \end{cases}$$
Giải
Phương hướng: Liên hợp phương trình (1) để xuất hiện biểu thức lien hệ giữa $x$ và $y$:
Bấm máy: SOLVE với tham số $y=100$ và tìm $x$, rồi quét nghiệm:
![[IMG]](http://i.imgur.com/jVHZqol.png)
Vậy phỏng đoán (1) có một nhân tử $x-y+1$.
Trình bày:
+ Điều kiện: $x>0,\,y\geq 1,\,y^2-4x+1>0$, biến đổi phương trình đầu của hệ, ta có:
$$\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow {x^2} – {y^2} + (x + y) + \left( {x – \sqrt {xy – x} } \right) – \left( {\sqrt {xy + y} – y} \right) = 0\\\Leftrightarrow (x + y)\left( {x – y + 1} \right) + \dfrac{{x(x – y + 1)}}{{x + \sqrt {xy – x} }} – \dfrac{{y(x – y + 1)}}{{\sqrt {xy + y} + y}} = 0\\\Leftrightarrow \left( {x – y + 1} \right)\left( {x + y + \dfrac{x}{{x + \sqrt {xy – x} }} – \dfrac{y}{{\sqrt {xy + y} + y}}} \right) = 0\\\Leftrightarrow y = x + 1 \end{array}$$
Với $x>0;\,y\geq 1$, ta có:
$$\begin{array}{l}x + y + \dfrac{x}{{x + \sqrt {xy – x} }} – \dfrac{y}{{\sqrt {xy + y} + y}}\\= x + \dfrac{x}{{x + \sqrt {xy – x} }} + y – \dfrac{y}{{\sqrt {xy + y} + y}} > 0 \end{array}$$
Thế $y=x+1$ vào (2), ta được:
$${x^2} – 2\sqrt x + \dfrac{2}{{\sqrt x }} – \dfrac{2}{{\sqrt {{x^2} – 2x + 2} }} + \sqrt {{x^2} – 2x + 2} = 0$$
Có thể nhận thấy ngay phương trình có các biểu thức không đối xứng với nhau nên không thể áp dụng phương pháp hàm đặc trưng để giải quyết được, nên ta đánh giá như sau:
+ Xét hàm $f(x)=x^2-2\sqrt{x}+\dfrac{2}{\sqrt{x}}$, ta có:
$$g'(x) = \dfrac{{2{x^2}\sqrt x – x – 1}}{{x\sqrt x }}$$
$$\begin{array}{l} g'(x) = 0\\\Leftrightarrow 2{x^2}\sqrt x – x – 1 = 0\\\Leftrightarrow 2{x^2}\sqrt x = x + 1\\\Leftrightarrow 4{x^5} – {x^2} – 2x – 1 = 0\\\Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {4{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} + 3x + 1} \right) = 0\\\Leftrightarrow x = 1\end{array}$$
+ Xét hàm $g(x)=\dfrac{2}{\sqrt{x^2-2x+2}}-\sqrt{x^2-2x+2}$.
Ta cũng tính được $g’(x)=0 \Leftrightarrow x=1$.
Vậy phương trình xảy ra khi $x=1 \Leftrightarrow y=2$.
About Admin Casio
