Hệ phương trình Chuyên Thái Bình lần 5 năm 2016

Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} x+(x^{2}+x)\left(\sqrt{x-y+3}-2\right)=1+y & (1)\\ (x+1)\sqrt{y^{2}+y+2}+(y-1)\sqrt{x^{2}+x+1}=x+y & (2) \end{cases}$$
Điều kiện: $x-y+3 \geq 0$.
Từ phương trình (1) của bài toán, SHIFT SOLVE cho $y=100$, giải phương trình được x=101, vậy nên dự đoán $x=y+1 \Leftrightarrow x-y-1=0$.
Chuyển $1+y$ từ vế phải của phương trình (1) qua ta thấy xuất hiện nhân tử, mặt khác khi liên hợp $\sqrt{x-y+3}$ với 2 ta được nhân tử cần tìm, vậy phương trình (1) tương đương với:
$$\begin{array}{l}
x + ({x^2} + x)\left( {\sqrt {x – y + 3}  – 2} \right) = 1 + y\\
\Leftrightarrow x – y – 1 + ({x^2} + x)\left( {\frac{{x – y – 1}}{{\sqrt {x – y + 3}  + 2}}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x – y – 1} \right)\left( {\sqrt {x – y + 3}  + {x^2} + x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow y = x – 1
\end{array}$$
Thế $y=x-1$ vào phương trình (2), ta được:
$$(x+1)\sqrt{x^2-x+2}+(x-2)\sqrt{x^2+x+1}=2x-1\,\,\,(*)$$

Đătk $a=)\sqrt{x^2-x+2};b=)\sqrt{x^2+x+1}\,\,(a,\,b>0)$. Suy ra $x=\dfrac{b^2-a^2+1}{2}$.
Phương trình (*) trở thành:
$$(a+b-3)(a-b)(a+b+1)=0$$
Nhận xét: Có thể SHIFT SOLVE cho phương trình chứa $a,\,b$ là được.
Giải lần lượt các phương trinhfm thu được các nghiệm:
$$(x;\,y)=(-1;-2);(x;\,y)=\left(\dfrac{1}{2};\,-\dfrac{1}{2}\right);\left(\dfrac{7}{8};\,-\dfrac{1}{8}\right)$$. 

About Admin Casio