BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Giải hệ phương trình Sở Bắc Giang Lần 2
- 30/10/2017
- 264 lượt xem
Giải hệ phương trình Sở Bắc Giang Lần 2
$$\left\{ \begin{array}{l} {x^3} + 3{x^2}\sqrt {x – y} = y\left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} – 1} \right)\\ (2y – 1)\sqrt {1 + x} + (2y + 1)\sqrt {1 – x} = 2y \end{array} \right.$$
+ Điều kiện:
[latex]\left\{ \begin{array}{l} x \ge y\\ – 1 \le x \le 1 \end{array} \right.[/latex]
+ Với $x=0$, suy ra $y=0$.
+ Với $x \neq 0$, phương trình (1) tương đương với:
$$x\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + 1} \right) + \frac{{3{x^2}\sqrt {x – y} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} – 1}} = y\left( {\sqrt {{y^2} + 1} + 1} \right){\rm{ (*)}}$$
Xét hàm số $f(t)=t\left(\sqrt{t^2+1}+1\right)$ trên $\mathbb{R}$.
$$\begin{array}{l} f(t) = t + t\sqrt {{t^2} + 1} \\ f'(t) = 1 + \sqrt {{t^2} + 1} + \frac{{{t^2}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} > 0{\rm{ }}\forall {\rm{t}} \in \end{array}$$
Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra phương trình (*) tương đương với $x=y$.
Có thể nói người ra đề đã hướng tới phương pháp hàm số không hoàn toàn.
Thay $x=y$ vào phương trình (2), ta được:
$$\left( {2x – 1} \right)\sqrt {1 + x} + \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 – x} = 2x$$
Điều kiện: $-1 \leq x \leq 1, x\, \neq 0$.
Đặt $a=\sqrt{1+x},\,b=\sqrt{1-x},\,a \geq 0,\,b\geq 0$ thay vào phương trình ta được:
$$\begin{array}{l} \left( {{a^2} – {b^2} – 1} \right)a + \left( {{a^2} – {b^2} + 1} \right)b = \left( {{a^2} – {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} – {b^2}} \right)\left( {a + b} \right) + b – a – \left( {{a^2} – {b^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = b\\ a + b = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} \end{array} \right. \end{array}$$
+ Với $a=b$ thì $x=0$ (loại).
+ Với $a+b=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ tìm được $x = \pm \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{8}} $.
Vậy hệ phương trình có các nghiệm $x=y= \pm \sqrt {\frac{{5 + \sqrt 5 }}{8}} $.
Chia sẻ
About TailieuCasio
