Giải hệ phương trình trên tập số thực

Đề bài: giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2 & & \\ y\left ( \sqrt{x^{2}+1}-1 \right )=\sqrt{3x^{2}+3} & & \end{matrix}\right.[/latex]

Bài giải: Điều kiện [latex]x>0[/latex]

Viết phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng tích

[latex]\left ( y-2x \right )\left ( \sqrt{x}+y \right )=0[/latex]

Nếu [latex]y=-\sqrt{x}[/latex], thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

[latex]-\sqrt{x}\left ( \sqrt{x^{2}+1}-1 \right )=\sqrt{3x^{2}+3}[/latex]

Thấy rằng vế trái nhỏ hơn 0, vế phải dương nên phương trình này vô nghiệm.

Nếu [latex]y=2x[/latex] thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có

[latex]2x\left ( \sqrt{x^{2}+1} -1\right )=\sqrt{3x^{2}+3}\Leftrightarrow \left ( 2x-\sqrt{3} \right )\sqrt{x^{2}+1}=2x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2} & & \\ 4x^{4}-4\sqrt{3}x^{3}+3x^{2}-4\sqrt{3}x+3=0 & & \end{matrix}\right.[/latex]

Dễ thấy:

[latex]4x^{4}-4\sqrt{3}x^{3}+3x^{2}-4\sqrt{3}x+3=0\Leftrightarrow \left ( x-\sqrt{3} \right )\left ( 4x^{3}+3x-\sqrt{3} \right )=0[/latex]  (*)

Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=4x^{3}+3x-\sqrt{3}[/latex] trên [latex]\left [ \frac{\sqrt{3}}{2};+\infty \right )[/latex]

Tính đạo hàm [latex]f’\left ( x \right )=12x^{2}+3>0[/latex] nên hàm số [latex]f\left ( x \right )[/latex] đồng biến trên [latex]\left [ \frac{\sqrt{3}}{2};+\infty \right )[/latex]

Suy ra [latex]f\left ( x \right )\geqslant f\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )=2\sqrt{3}[/latex]

Do đó phương trình (*) tương đương [latex]x=\sqrt{3}[/latex]

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là [latex]x=\sqrt{3},y=2\sqrt{3}[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

Tetrahedron

Lại nói về việc vận dụng công thức góc giữa hai mặt bên của khối tứ diện

Một trong các yêu cầu thiết thực của việc giải trắc nghiệm HHKG đó là …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết