Giải hệ phương trình trên tập số thực

Đề bài: giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2 & & \\ y\left ( \sqrt{x^{2}+1}-1 \right )=\sqrt{3x^{2}+3} & & \end{matrix}\right.[/latex]

Bài giải: Điều kiện [latex]x>0[/latex]

Viết phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng tích

[latex]\left ( y-2x \right )\left ( \sqrt{x}+y \right )=0[/latex]

Nếu [latex]y=-\sqrt{x}[/latex], thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

[latex]-\sqrt{x}\left ( \sqrt{x^{2}+1}-1 \right )=\sqrt{3x^{2}+3}[/latex]

Thấy rằng vế trái nhỏ hơn 0, vế phải dương nên phương trình này vô nghiệm.

Nếu [latex]y=2x[/latex] thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có

[latex]2x\left ( \sqrt{x^{2}+1} -1\right )=\sqrt{3x^{2}+3}\Leftrightarrow \left ( 2x-\sqrt{3} \right )\sqrt{x^{2}+1}=2x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2} & & \\ 4x^{4}-4\sqrt{3}x^{3}+3x^{2}-4\sqrt{3}x+3=0 & & \end{matrix}\right.[/latex]

Dễ thấy:

[latex]4x^{4}-4\sqrt{3}x^{3}+3x^{2}-4\sqrt{3}x+3=0\Leftrightarrow \left ( x-\sqrt{3} \right )\left ( 4x^{3}+3x-\sqrt{3} \right )=0[/latex]  (*)

Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=4x^{3}+3x-\sqrt{3}[/latex] trên [latex]\left [ \frac{\sqrt{3}}{2};+\infty \right )[/latex]

Tính đạo hàm [latex]f’\left ( x \right )=12x^{2}+3>0[/latex] nên hàm số [latex]f\left ( x \right )[/latex] đồng biến trên [latex]\left [ \frac{\sqrt{3}}{2};+\infty \right )[/latex]

Suy ra [latex]f\left ( x \right )\geqslant f\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )=2\sqrt{3}[/latex]

Do đó phương trình (*) tương đương [latex]x=\sqrt{3}[/latex]

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là [latex]x=\sqrt{3},y=2\sqrt{3}[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

Capture

THỰC HIỆN MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ PHỨC BẰNG MÁY TÍNH CASIO FX-580VN X

Số phức là một nội dung khá mới mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của số phức, việc giải quyết những bài toán số phức còn gặp nhiều hạn chế. Năm bắt được vấn đề đó, Bitex EDU biên soạn tài liệu này nhằm hỗ trợ các em học sinh 12 một số hướng dẫn giải các bài toán số phức trên máy tính Casio fx-580VN X nhằm giúp các em có những sự chuẩn bị tốt nhất trong các kì thi sắp tới.

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết