BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Giải hệ phương trình trên tập số thực
- 10/11/2017
- 474 lượt xem
Đề bài: giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
[latex]\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2 & & \\ y\left ( \sqrt{x^{2}+1}-1 \right )=\sqrt{3x^{2}+3} & & \end{matrix}\right.[/latex]Bài giải: Điều kiện [latex]x>0[/latex]
Viết phương trình thứ nhất của hệ đã cho về dạng tích
[latex]\left ( y-2x \right )\left ( \sqrt{x}+y \right )=0[/latex]Nếu [latex]y=-\sqrt{x}[/latex], thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
[latex]-\sqrt{x}\left ( \sqrt{x^{2}+1}-1 \right )=\sqrt{3x^{2}+3}[/latex]Thấy rằng vế trái nhỏ hơn 0, vế phải dương nên phương trình này vô nghiệm.
Nếu [latex]y=2x[/latex] thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có
[latex]2x\left ( \sqrt{x^{2}+1} -1\right )=\sqrt{3x^{2}+3}\Leftrightarrow \left ( 2x-\sqrt{3} \right )\sqrt{x^{2}+1}=2x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geqslant \frac{\sqrt{3}}{2} & & \\ 4x^{4}-4\sqrt{3}x^{3}+3x^{2}-4\sqrt{3}x+3=0 & & \end{matrix}\right.[/latex]Dễ thấy:
[latex]4x^{4}-4\sqrt{3}x^{3}+3x^{2}-4\sqrt{3}x+3=0\Leftrightarrow \left ( x-\sqrt{3} \right )\left ( 4x^{3}+3x-\sqrt{3} \right )=0[/latex] (*)Xét hàm số [latex]f\left ( x \right )=4x^{3}+3x-\sqrt{3}[/latex] trên [latex]\left [ \frac{\sqrt{3}}{2};+\infty \right )[/latex]
Tính đạo hàm [latex]f’\left ( x \right )=12x^{2}+3>0[/latex] nên hàm số [latex]f\left ( x \right )[/latex] đồng biến trên [latex]\left [ \frac{\sqrt{3}}{2};+\infty \right )[/latex]
Suy ra [latex]f\left ( x \right )\geqslant f\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )=2\sqrt{3}[/latex]
Do đó phương trình (*) tương đương [latex]x=\sqrt{3}[/latex]
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là [latex]x=\sqrt{3},y=2\sqrt{3}[/latex]
About casiobitex
