Giải câu 50 (mã đề 119)TNPT 2024

Câu 50: Cho hàm số $f(x) = \dfrac{5}{x^3}+\ln\dfrac{x+2}{x-2}$. Có bao nhiêu số nguyên $a ∈ (-∞;2100)$ thỏa mãn $f(a-2023) + f(5a – 29) \geqslant 0$?

A. $410.$ B. $1758.$ C. $2093.$ D. $336.$

 

GIẢI

$f(a-2023)+f(5a-29)=\dfrac{5}{(a-2023)^3}+\ln\dfrac{a-2021}{a-2025}+
\dfrac{5}{(5a-29)^3}+\ln\dfrac{5a-27}{5a-31}$.
 

Xét hàm số $g(x)=\dfrac{5}{(x-2023)^3}+\ln\dfrac{x-2021}{x-2025}+
\dfrac{5}{(5x-29)^3}+\ln\dfrac{5x-27}{5x-31}$.
 

Ta thấy $g(x)$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Do đó nếu nó có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Sử dụng MTCT ta thấy nghiệm này là $342$ tnpt24cau50

Tập xác định của $g(x)$: $$\dfrac{x-2021}{x-2025}>0 \wedge \dfrac{5x-27}{5x-31}>0 \wedge x\ne 2023 \wedge x\ne 2025$$

$$⇔ \underbrace{-\infty <x<\dfrac{27}{5}}_{(I)} ∨ \underbrace{\dfrac{31}{5}<x<2021}_{(II)} ∨ \underbrace{x>2025}_{(III)}$$

Đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng và chia làm 3 nhánh:
 

Trên nhánh ($I$) vì $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}g(x)=0^{-}$ và hàm số $g(x)$ nghịch biến nên $g(x)<0 \ \forall x$ thuộc nhánh này. Do đó nhánh $(I)$ nằm dưới truc hoành nên bị loại.
 

Trên nhánh ($III$) vì $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}g(x)=0^{+}$ và hàm số $g(x)$ nghịch biến nên $g(x)>0 \ \forall x$ thuộc nhánh này. Do đó nhánh $(III)$ nằm trên truc hoành nên ta có một tập nghiệm $x>2025.$

 

 

Nhánh $(II)$ chứa nghiệm của phương trình $g(x)=0 ⇔ x =342$ và hàm số $g(x)$ nghịch biến nên đồ thị “nửa trên nửa dưới”, “nửa trên” là giao của $(II)$ với $g(x)\geqslant 0 ⇔ x\leqslant 342$. Ta có thêm một tập hợp nghiệm $\dfrac{31}{5}<x\leqslant 342$.

 

 

Tóm lại tất cả giá trị $a$ nguyên thoả $-\infty <a<2100$ và $f(a-2023)+f(5a-29)\geqslant 0$ là $$7, 8, 9, \dots 342, 2026, 2027, \dots , 2099.$$
Có $336+74=410$ số nguyên thoả ycbt. Vậy ta chọn A.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Sử dụng Geogebra giải toán Ứng dụng toán học vào tài chính

Chuyên đề 12 – ứng dụng toán học vào tài chánh BÀI 1: PHẦN CHUẨN …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết