BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Giải câu 50 (mã đề 119)TNPT 2024
- 29/06/2024
- 195 lượt xem
Câu 50: Cho hàm số $f(x) = \dfrac{5}{x^3}+\ln\dfrac{x+2}{x-2}$. Có bao nhiêu số nguyên $a ∈ (-∞;2100)$ thỏa mãn $f(a-2023) + f(5a – 29) \geqslant 0$?
|
$f(a-2023)+f(5a-29)=\dfrac{5}{(a-2023)^3}+\ln\dfrac{a-2021}{a-2025}+
\dfrac{5}{(5a-29)^3}+\ln\dfrac{5a-27}{5a-31}$.
Xét hàm số $g(x)=\dfrac{5}{(x-2023)^3}+\ln\dfrac{x-2021}{x-2025}+
\dfrac{5}{(5x-29)^3}+\ln\dfrac{5x-27}{5x-31}$.
Ta thấy $g(x)$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Do đó nếu nó có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Sử dụng MTCT ta thấy nghiệm này là $342$ 
Tập xác định của $g(x)$: $$\dfrac{x-2021}{x-2025}>0 \wedge \dfrac{5x-27}{5x-31}>0 \wedge x\ne 2023 \wedge x\ne 2025$$
$$⇔ \underbrace{-\infty <x<\dfrac{27}{5}}_{(I)} ∨ \underbrace{\dfrac{31}{5}<x<2021}_{(II)} ∨ \underbrace{x>2025}_{(III)}$$
Đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng và chia làm 3 nhánh:
Trên nhánh ($I$) vì $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}g(x)=0^{-}$ và hàm số $g(x)$ nghịch biến nên $g(x)<0 \ \forall x$ thuộc nhánh này. Do đó nhánh $(I)$ nằm dưới truc hoành nên bị loại.
| Trên nhánh ($III$) vì $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}g(x)=0^{+}$ và hàm số $g(x)$ nghịch biến nên $g(x)>0 \ \forall x$ thuộc nhánh này. Do đó nhánh $(III)$ nằm trên truc hoành nên ta có một tập nghiệm $x>2025.$ |
| Nhánh $(II)$ chứa nghiệm của phương trình $g(x)=0 ⇔ x =342$ và hàm số $g(x)$ nghịch biến nên đồ thị “nửa trên nửa dưới”, “nửa trên” là giao của $(II)$ với $g(x)\geqslant 0 ⇔ x\leqslant 342$. Ta có thêm một tập hợp nghiệm $\dfrac{31}{5}<x\leqslant 342$. |
Tóm lại tất cả giá trị $a$ nguyên thoả $-\infty <a<2100$ và $f(a-2023)+f(5a-29)\geqslant 0$ là $$7, 8, 9, \dots 342, 2026, 2027, \dots , 2099.$$
Có $336+74=410$ số nguyên thoả ycbt. Vậy ta chọn A.
About TS. Nguyễn Thái Sơn
