Giải câu 49 chuyên Lam Sơn (Thanh Hoá) 21/6/2020

c49

hinhbs

khoi49 1

Hình bên trái là khối tứ diện $FAHG$, hình bên phải là khối đa diện chứa điểm $A$.

Theo bài viết về  các bổ đề để giải câu 49 chuyên Lam Sơn 2020

Ta có: $\dfrac{HA}{HB}=3 \ ; \ \dfrac{GM}{GH}=\dfrac23$.

Ngoài ra theo Định lý Thalès ta có các tỉ lệ:

$$\dfrac{FA’}{FA}=\dfrac13\ ; \ \dfrac{GE}{GF}=\dfrac{GC}{GA}=\dfrac13$$

Theo công thức tỉ lệ thể tích (trong bài về các bổ đề) ta có:

$$\dfrac{V_{FA’ID}}{V_{FAHG}}=\left(\dfrac{FA’}{FA}\right)^3=\dfrac{1}{27}$$

$$\dfrac{V_{GECM}}{V_{GFAH}}=\dfrac{GE}{GF}\times \dfrac{GC}{GA}\times\dfrac{GM}{GH}=\dfrac{2}{27}$$

Vậy thể tích của khối đa diện có chứa điểm $A$ là:

$$V_1=V_{FAHG}\left(1-\dfrac{1}{27}-\dfrac{2}{27}\right)=\dfrac89V_{FAHG}$$

mà $V_{FAHG}=\dfrac13.S_{AHG}.FA=\dfrac13.\dfrac{AG}{AC}.\dfrac{AH}{AB}.S_{ABC}.\dfrac32 AA’=\dfrac13.\dfrac32.\dfrac34.\dfrac32 V_{\text{lăng trụ}}=\dfrac{9}{16}V_{\text{lăng trụ}}$

Vậy $V_1=\dfrac89\times \dfrac{9}{16} \times 12=6$

Do đó $V_2=V_1=6$, chọn B.

 

Sau đây là lời giải trên máy tính Casio fx-580 VNX

 Câu 49: Khối lăng trụ đứng $.ABC A’ B’ C’$ có thể tích $V=12$. Gọi $D, E, M$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A’C’, CC$ và $BC$. Mặt phẳng $(DEM)$ chia khối lăng trụ thành 2 khối đa diện. Tính thể tích của khối đa diện không chứa điểm $A $. hinhbs Chọn hệ trục tọa độ gốc $A$ tia $Ax$ đi qua $B$, tia $Az$ điqua $A’$, điểm $C$ nằm trong mặt phẳng $Axy$. Khi đó $A(0;0;0)$, $A'(0;0;a)$, $B(b;0;0)$, $C(c;d;0)$, ta chọn $a, b,c,d$ đều dương. Ta tính được $V_{\text{ABCA’B’C’}}=\dfrac12 abd=12 \Rightarrow abd=24$. Nhận xét $\overrightarrow{AG}=\dfrac32 \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{FA}=\dfrac32 \overrightarrow{AA’}$ và $\overrightarrow{A’I}=\dfrac14 \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AH}=\dfrac34 \overrightarrow{AB}$

  1. h1 lưu vào A. làm cao độ điểm $A’$.
  2. h2 lưu vào B. làm hoành độ điểm $B$.
  3. h3 lưu vào C. làm hoành độ điểm $C$.
  4. h4 lưu vào D. làm tung độ điểm $C$.

Nhập ma trận vuông cấp 4 $\left( {\begin{array}{*{20}c} {x_F } & {y_F } & {z_F } & 1 \\ {x_A } & {y_A } & {z_A } & 1 \\ {x_H } & {y_H } & {z_H } & 1 \\ {x_G } & {y_G } & {z_G } & 1 \\ \end{array}} \right)$, $\dfrac16$ giá trị tuyệt đối của định thức của ma trận thứ nhất là $V_{FAHG}$ h5 Nhập ma trận vuông cấp 4 $\left( {\begin{array}{*{20}c} {x_F } & {y_F } & {z_F } & 1 \\ {x_{{A’}} } & {y_{{A’}} } & {z_{{A’}} } & 1 \\ {x_I } & {y_I } & {z_I } & 1 \\ {x_D } & {y_D } & {z_DG } & 1 \\ \end{array}} \right)$, $\dfrac16$ giá trị tuyệt đối của định thức của ma trận thứ hai là $V_{FA’ID}$ h6 Nhập ma trận vuông cấp 4 $\left( {\begin{array}{*{20}c} {x_E } & {y_E } & {z_E } & 1 \\ {x_C } & {y_C } & {z_C } & 1 \\ {x_M } & {y_M } & {z_M } & 1 \\ {x_G } & {y_G } & {z_G } & 1 \\ \end{array}} \right)$, $\dfrac16$ giá trị tuyệt đối của định thức của ma trận thứ ba là $V_{ECMG}$ h7 Cuối cùng ta tìm được thể tích của khối điện chứa điểm $A$. hcc

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

featured math exam tips

Ba cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (3)

Sử dụng công thức $$d(AB,CD)=\dfrac{12V_{ABCD}}{\sqrt{4.AB^2.CD^2-\left(AC^2+BD^2-AD^2-BC^2\right)^2}}$$   Tính $d(AB’,A’C’)$. Xét tứ diện $AB’A’C’$, ba cặp cạnh …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết