Giải câu 49 chuyên Lam Sơn (Thanh Hoá) 21/6/2020

Hình bên trái là khối tứ diện $FAHG$, hình bên phải là khối đa diện chứa điểm $A$.

Theo bài viết về  các bổ đề để giải câu 49 chuyên Lam Sơn 2020

Ta có: $\dfrac{HA}{HB}=3 \ ; \ \dfrac{GM}{GH}=\dfrac23$.

Ngoài ra theo Định lý Thalès ta có các tỉ lệ:

$$\dfrac{FA’}{FA}=\dfrac13\ ; \ \dfrac{GE}{GF}=\dfrac{GC}{GA}=\dfrac13$$

Theo công thức tỉ lệ thể tích (trong bài về các bổ đề) ta có:

$$\dfrac{V_{FA’ID}}{V_{FAHG}}=\left(\dfrac{FA’}{FA}\right)^3=\dfrac{1}{27}$$

$$\dfrac{V_{GECM}}{V_{GFAH}}=\dfrac{GE}{GF}\times \dfrac{GC}{GA}\times\dfrac{GM}{GH}=\dfrac{2}{27}$$

Vậy thể tích của khối đa diện có chứa điểm $A$ là:

$$V_1=V_{FAHG}\left(1-\dfrac{1}{27}-\dfrac{2}{27}\right)=\dfrac89V_{FAHG}$$

mà $V_{FAHG}=\dfrac13.S_{AHG}.FA=\dfrac13.\dfrac{AG}{AC}.\dfrac{AH}{AB}.S_{ABC}.\dfrac32 AA’=\dfrac13.\dfrac32.\dfrac34.\dfrac32 V_{\text{lăng trụ}}=\dfrac{9}{16}V_{\text{lăng trụ}}$

Vậy $V_1=\dfrac89\times \dfrac{9}{16} \times 12=6$

Do đó $V_2=V_1=6$, chọn B.

Sau đây là lời giải trên máy tính Casio fx-580 VNX

 Câu 49: Khối lăng trụ đứng $.ABC A’ B’ C’$ có thể tích $V=12$. Gọi $D, E, M$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A’C’, CC$ và $BC$. Mặt phẳng $(DEM)$ chia khối lăng trụ thành 2 khối đa diện. Tính thể tích của khối đa diện không chứa điểm $A $. Chọn hệ trục tọa độ gốc $A$ tia $Ax$ đi qua $B$, tia $Az$ điqua $A’$, điểm $C$ nằm trong mặt phẳng $Axy$. Khi đó $A(0;0;0)$, $A'(0;0;a)$, $B(b;0;0)$, $C(c;d;0)$, ta chọn $a, b,c,d$ đều dương. Ta tính được $V_{\text{ABCA’B’C’}}=\dfrac12 abd=12 \Rightarrow abd=24$. Nhận xét $\overrightarrow{AG}=\dfrac32 \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{FA}=\dfrac32 \overrightarrow{AA’}$ và $\overrightarrow{A’I}=\dfrac14 \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AH}=\dfrac34 \overrightarrow{AB}$

1. lưu vào A. làm cao độ điểm $A’$.
2. lưu vào B. làm hoành độ điểm $B$.
3. lưu vào C. làm hoành độ điểm $C$.
4. lưu vào D. làm tung độ điểm $C$.

Nhập ma trận vuông cấp 4 $\left( {\begin{array}{*{20}c} {x_F } & {y_F } & {z_F } & 1 \\ {x_A } & {y_A } & {z_A } & 1 \\ {x_H } & {y_H } & {z_H } & 1 \\ {x_G } & {y_G } & {z_G } & 1 \\ \end{array}} \right)$, $\dfrac16$ giá trị tuyệt đối của định thức của ma trận thứ nhất là $V_{FAHG}$ Nhập ma trận vuông cấp 4 $\left( {\begin{array}{*{20}c} {x_F } & {y_F } & {z_F } & 1 \\ {x_{{A’}} } & {y_{{A’}} } & {z_{{A’}} } & 1 \\ {x_I } & {y_I } & {z_I } & 1 \\ {x_D } & {y_D } & {z_DG } & 1 \\ \end{array}} \right)$, $\dfrac16$ giá trị tuyệt đối của định thức của ma trận thứ hai là $V_{FA’ID}$ Nhập ma trận vuông cấp 4 $\left( {\begin{array}{*{20}c} {x_E } & {y_E } & {z_E } & 1 \\ {x_C } & {y_C } & {z_C } & 1 \\ {x_M } & {y_M } & {z_M } & 1 \\ {x_G } & {y_G } & {z_G } & 1 \\ \end{array}} \right)$, $\dfrac16$ giá trị tuyệt đối của định thức của ma trận thứ ba là $V_{ECMG}$ Cuối cùng ta tìm được thể tích của khối điện chứa điểm $A$.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).