Câu 49 (mã đề 119) TNPT 2024
- 29/06/2024
- 108 lượt xem
Câu 49: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-2;1), B(2; 4;-1)$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I(1; 2; 1)$ đi qua $A$. Điểm $M(a; b; c)$ (với $c > 0$) thuộc $(S)$ sao cho $IAM$ là tam giác tù, có diện tích bằng $2\sqrt7$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $IA$ lớn nhất. Giá trị của $a + b + c$ thuộc khoảng nào dưới đây? |
$\overrightarrow{IA}=(0;-4;0)$
$\overrightarrow{IM}=(a-1;b-2;c+1)$
Tam giác $IAM$ có $IA=IM=R$ nên cân tại $I$ do đó góc $I$ tù, nghĩa là: $$\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IM}<0 ⇔ -4b+8<0 ⇔ b>2.$$
$S_{IAM}=\dfrac12\Big|[\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IM}]\Big|=\dfrac12\sqrt{(-4c-4)^2+(4a-4)^2}=2\sqrt7 ⇔ \sqrt{(c+1)^2+(a-1)^2}=\sqrt7$.
Do $M$ nằm trên mặt cầu $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=16$ nên:
$$(a-1)^2+(b-2)^2+(c+1)^2=16 \quad (**)$$ Từ (*) và (**) ta suy ra
Vậy $b=5$.
$\overrightarrow{BM}=(a-2;b-4;c+1)$
$\overrightarrow{IA}=(0;-4;0)$
$\overrightarrow{IB}=(-1;6;0)$
$[\overrightarrow{BM},\overrightarrow{IA}]=(4c+4;0;-4a+8)$
$[\overrightarrow{BM},\overrightarrow{IA}].\overrightarrow{IB}=-4c-4$
Vậy $d=d(BM,IA)=\dfrac{|4c+4|}{\sqrt{(4c+4)^2+(-4a+8)^2}}=\dfrac{|c+1|}{\sqrt{(c+1)^2+(a-2)^2}}$
Thay $(c+1)^2=7-(a-1)^2$ vào $d^2$ ta có:
$$d^2=f(a)=\dfrac{7-(a-1)^2}{7-(a-1)^2+(a-2)^2}=\dfrac{-a^2+2a+6}{-2a+10}$$
Vì $(a-1)^2\leqslant 7$ nên $1-\sqrt7\leqslant a\leqslant 1+\sqrt7$
$f'(a)=0⇔ 2a^2-20a+32=0$
Do điều kiện của $a$ nên loại $a=8$, nhận $a=2$ và là điểm cực đại của hàm số. Khi đó $d$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $a=2$.
Thay $a=2$ vào (*) và dùng điều kiện $c>0$ ta có $c=\sqrt6-1$.
Tóm lại $a+b+c=6+\sqrt6$ ta chọn A. $\left(8;\dfrac{17}{2}\right)$.