Câu 49 (mã đề 119) TNPT 2024

Câu 49: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;-2;1), B(2; 4;-1)$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I(1; 2; 1)$ đi qua $A$. Điểm $M(a; b; c)$ (với $c > 0$) thuộc $(S)$ sao cho $IAM$ là tam giác tù, có diện tích bằng $2\sqrt7$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $IA$ lớn nhất. Giá trị của $a + b + c$ thuộc khoảng nào dưới đây?

 

GIẢI

$\overrightarrow{IA}=(0;-4;0)$

$\overrightarrow{IM}=(a-1;b-2;c+1)$

Tam giác $IAM$ có $IA=IM=R$ nên cân tại $I$ do đó góc $I$ tù, nghĩa là: $$\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{IM}<0 ⇔ -4b+8<0 ⇔ b>2.$$

$S_{IAM}=\dfrac12\Big|[\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IM}]\Big|=\dfrac12\sqrt{(-4c-4)^2+(4a-4)^2}=2\sqrt7 ⇔ \sqrt{(c+1)^2+(a-1)^2}=\sqrt7$.

$⇔ (a-1)^2+(c+1)^2=7\quad$ (*).

Do $M$ nằm trên mặt cầu $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=16$ nên:
$$(a-1)^2+(b-2)^2+(c+1)^2=16 \quad (**)$$ Từ (*)(**) ta suy ra

$(b-2)^2=16-7=9 ⇒ b-2=3$ (do $b>2$).

Vậy $b=5$.

$\overrightarrow{BM}=(a-2;b-4;c+1)$

$\overrightarrow{IA}=(0;-4;0)$

$\overrightarrow{IB}=(-1;6;0)$

$[\overrightarrow{BM},\overrightarrow{IA}]=(4c+4;0;-4a+8)$

$[\overrightarrow{BM},\overrightarrow{IA}].\overrightarrow{IB}=-4c-4$

Vậy $d=d(BM,IA)=\dfrac{|4c+4|}{\sqrt{(4c+4)^2+(-4a+8)^2}}=\dfrac{|c+1|}{\sqrt{(c+1)^2+(a-2)^2}}$

Thay $(c+1)^2=7-(a-1)^2$ vào $d^2$ ta có:
$$d^2=f(a)=\dfrac{7-(a-1)^2}{7-(a-1)^2+(a-2)^2}=\dfrac{-a^2+2a+6}{-2a+10}$$

Vì $(a-1)^2\leqslant 7$ nên $1-\sqrt7\leqslant a\leqslant 1+\sqrt7$

$f'(a)=0⇔ 2a^2-20a+32=0$

tnpt24cau49a

Do điều kiện của $a$ nên loại $a=8$, nhận $a=2$ và là điểm cực đại của hàm số. Khi đó $d$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $a=2$.

Thay $a=2$ vào (*) và dùng điều kiện $c>0$ ta có $c=\sqrt6-1$.

Tóm lại $a+b+c=6+\sqrt6$ tnpt24cau49b ta chọn A. $\left(8;\dfrac{17}{2}\right)$.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Sử dụng Geogebra giải toán Ứng dụng toán học vào tài chính

Chuyên đề 12 – ứng dụng toán học vào tài chánh BÀI 1: PHẦN CHUẨN …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết