Câu 48 (mã đề 119) TNPT 2024

Vì $y = f'(x)$ là hàm số bậc ba, đồng biến trên khoảng $(-∞; +∞)$, $f'(4) = 0$ và $f'(-1) = a$ nên $f'(x)=-\dfrac{a}{125}(x-4)^3$ , $a<0$.
 
Suy ra $f(x)=-\dfrac{a}{500}(x-4)^4+C$. vì $f(-1)=-6$ nên $C=-6-\dfrac54a$, nghĩa là $$f(x)=a\left[\dfrac54-\dfrac{(x-4)^4}{500}\right]-6$$

Muốn xác định số điểm cực trị của hàm số $y = \left|f(x) + \dfrac{6}{x^2}\right|$ ta xác định số điểm cực trị của hàm số $y = g(x)=f(x) + \dfrac{6}{x^2}$ và số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x) + \dfrac{6}{x^2}$ với trục hoành.
 

Xét phương trình $$f(x) + \dfrac{6}{x^2}=0 ⇔ f(x)=-\dfrac{6}{x^2}\quad (1)$$

Ta vẽ hai đồ thị lên một hệ trục toạ độ:

Ta chỉ tìm số nghiệm lớn hơn $-1$, nhìn vào đồ thị ta thấy phương trình $(1)$ có hai nghiệm lớn hơn $-1$ (chính là 2 nghiệm dương, 2 nghiệm âm nhỏ hơn hoặc bằng $-1$ bị loại). Hình vẽ được vẽ với $a=-1$, với $a$ nguyên âm và nhỏ hơn $-1$ số nghiệm vẫn như thế.
 

Trong trường hợp này hàm số $y = \left|f(x) + \dfrac{6}{x^2}\right|$ có hai điểm cực trị.
 

Bây giờ ta tìm số điểm cực trị của hàm số $y=g(x)$.

Xét hàm số $y=h(x)=\dfrac{-1500}{(x^2-4x)^3}$

$h'(x)=\dfrac{4500(2x-4)}{(x^2-4x)^4}$

Bảng biến thiên

Hàm số $y = \left|f(x) + \dfrac{6}{x^2}\right|$ có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $y=g(x)$ có một điểm cực trị duy nhất, nghĩa là phương trình (*) có một nghiệm. Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy $-12\leqslant a<0$. Vì $a$ là số nguyên nên $$a=-12,-11,-10,\dots,-2,-1$$

Kết luận: Có 12 số nguyên $a \in (-100;0)$ thoả ycbt. Ta chọn D.
 
 
 

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).