BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Câu 42 (mã đề 119) TNPT2024
- 28/06/2024
- 100 lượt xem
Câu 42: Xét hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\quad (a, b, c, d ∈ \mathbb{R}, a > 0)$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ (với $x_1 < x_2$) thỏa mãn $x_1 + x_2 = 0$. Hình phẳng giới hạn bởi đường $y = f'(x)f”(x)$ và trục hoành có diện tích bằng $\dfrac{9}{16}$. Biết $\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\dfrac{f'(x)}{2^x+1} dx = -\dfrac52$, giá trị của $\displaystyle \int_{0}^{x_2}(x + 2)f”(x)dx$ thuộc khoảng nào dưới đây?
|
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$. Vì phương trình $f'(x)=0$ có hai nghiệm đối nhau nên $b=0$.
Lưu ý: $x_2=\sqrt{-\dfrac{c}{3a}}$ với $c$ âm ; $a$ dương và $f'(x)=3ax^2+c$ là hàm chẵn, $f”(x)=6ax$.
Hình phẳng giới hạn bởi đường $y = f'(x)f”(x)$ và trục hoành có diện tích bằng $\dfrac{9}{16}$ nên $$\int_{x_1}^{x_2}6a|3ax^3+cx|dx=\dfrac{9}{16}⇔ \int_{0}^{x_2}-12a(3ax^3+cx)dx=\dfrac{9}{16} ⇔ 9a^2.x_2^4+6acx_2^2=-\dfrac{9}{16}$$
$$⇔ 9a^2.\dfrac{c^2}{9a^2}+6ac.\dfrac{-c}{3a}=-\dfrac{9}{16} ⇔ c^2= \dfrac{9}{16} ⇔ c=-\dfrac34 \quad \text{vì}\ c<0. $$
Ngoài ra ta có: $\displaystyle \underbrace{\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx=2\int_{x_1}^{x_2}\dfrac{f'(x)}{2^x+1} dx}_{\text{xem giải thích ở dưới} } = -5 ⇔ \int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx=-5$
$$⇔ \int_{0}^{x_2}f'(x)dx=-\dfrac52 ⇔ f(x_2)-f(0)=-\dfrac52 ⇔ ax_2^3+cx_2=-\dfrac52 ⇔ x_2(ax_2^2+c)=-\dfrac52$$
$$⇔ \sqrt{\dfrac{-c}{3a}}\left(a.\dfrac{-c}{3a}+c\right) =-\dfrac{5}{2}⇔ a=-\dfrac{16}{675}c^3$$
vì $c=-\dfrac34$ nên ta có: $a=\dfrac{1}{100} ⇒ x_2=\sqrt{-\dfrac{c}{3a}}=5\qquad $ 
Vậy 
, ta chọn D.
| Giải thích thêm. Kết quả dưới đây khá khó đối với học sinh lớp 12. Cách đây nhiều năm, đôi khi bài thi tuyển sinh đại học cũng đề cập tới vấn đề này nhưng thời lượng làm bài lúc đó là 180 phút và cũng phải đi học luyện thi đại học mới biết, sách giáo khoa không đề cập tới. 1. Nếu $f$ là một hàm chẵn liên tục trên đoạn $[-m;m]$ và $a$ là một số dương khác 1 thì: $$\int_{-m}^m\dfrac{f(x)}{a^x+1}dx=\int_{-m}^m\dfrac{a^xf(x)}{a^x+1}dx$$ Chứng minh: Đặt $t=-x⇒ x=-t ⇒ dx=-dt$. Khi đó: $$\displaystyle\int_{-m}^m\dfrac{f(x)}{a^x+1}dx=\int_{m}^{-m}\dfrac{f(-t)}{a^{-t}+1}(-dt)=\int_{-m}^m\dfrac{f(t)}{\dfrac{1}{a^t}+1}dt=\int_{-m}^m\dfrac{a^tf(t)}{a^t+1}dt=\int_{-m}^m\dfrac{a^xf(x)}{a^x+1}dx \ \text{(đpcm)} $$ 2. Ta lấy hai tích phân bằng nhau nói trên cộng lại, kết quả sẽ là: $$2.\int_{-m}^{m}\dfrac{f(x)}{a^x+1}dx=\int_{-m}^m\dfrac{(a^x+1)f(x)}{a^x+1}dx=\int_{-m}^{m}f(x)dx$$ Do đó: $$\displaystyle \int_{-m}^{m}f(x)dx=2\int_{-m}^m\dfrac{f(x)}{a^x+1}dx$$ |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
