Câu 42 (mã đề 119) TNPT2024

Câu 42: Xét hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\quad (a, b, c, d ∈ \mathbb{R}, a > 0)$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ (với $x_1 < x_2$) thỏa mãn $x_1 + x_2 = 0$. Hình phẳng giới hạn bởi đường $y = f'(x)f”(x)$ và trục hoành có diện tích bằng $\dfrac{9}{16}$. Biết $\displaystyle \int_{x_1}^{x_2}\dfrac{f'(x)}{2^x+1} dx = -\dfrac52$, giá trị của $\displaystyle \int_{0}^{x_2}(x + 2)f”(x)dx$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $\left(-\dfrac32;-\dfrac12\right)$ B. $\left(\dfrac12;\dfrac32\right)$ C. $\left(-\dfrac92;-\dfrac72\right)$ D. $\left(\dfrac72;\dfrac92\right)$

 

BÀI GIẢI

$f'(x)=3ax^2+2bx+c$. Vì phương trình $f'(x)=0$ có hai nghiệm đối nhau nên $b=0$.

Lưu ý: $x_2=\sqrt{-\dfrac{c}{3a}}$ với $c$ âm ; $a$ dương và $f'(x)=3ax^2+c$ là hàm chẵn, $f”(x)=6ax$.

Hình phẳng giới hạn bởi đường $y = f'(x)f”(x)$ và trục hoành có diện tích bằng $\dfrac{9}{16}$ nên $$\int_{x_1}^{x_2}6a|3ax^3+cx|dx=\dfrac{9}{16}⇔ \int_{0}^{x_2}-12a(3ax^3+cx)dx=\dfrac{9}{16} ⇔ 9a^2.x_2^4+6acx_2^2=-\dfrac{9}{16}$$

$$⇔ 9a^2.\dfrac{c^2}{9a^2}+6ac.\dfrac{-c}{3a}=-\dfrac{9}{16} ⇔ c^2= \dfrac{9}{16} ⇔ c=-\dfrac34 \quad \text{vì}\ c<0. $$

Ngoài ra ta có: $\displaystyle \underbrace{\int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx=2\int_{x_1}^{x_2}\dfrac{f'(x)}{2^x+1} dx}_{\text{xem giải thích ở dưới} } = -5 ⇔ \int_{x_1}^{x_2}f'(x)dx=-5$

$$⇔ \int_{0}^{x_2}f'(x)dx=-\dfrac52 ⇔ f(x_2)-f(0)=-\dfrac52 ⇔ ax_2^3+cx_2=-\dfrac52 ⇔ x_2(ax_2^2+c)=-\dfrac52$$

$$⇔ \sqrt{\dfrac{-c}{3a}}\left(a.\dfrac{-c}{3a}+c\right) =-\dfrac{5}{2}⇔ a=-\dfrac{16}{675}c^3$$

vì $c=-\dfrac34$ nên ta có: $a=\dfrac{1}{100} ⇒ x_2=\sqrt{-\dfrac{c}{3a}}=5\qquad $ tnpt24cau42a

Vậy tnpt24cau42b, ta chọn D.

 

 

Giải thích thêm. Kết quả dưới đây khá khó đối với học sinh lớp 12. Cách đây nhiều năm, đôi khi bài thi tuyển sinh đại học cũng đề cập tới vấn đề này nhưng thời lượng làm bài lúc đó là 180 phút và cũng phải đi học luyện thi đại học mới biết, sách giáo khoa không đề cập tới.
 
1. Nếu $f$ là một hàm chẵn liên tục trên đoạn $[-m;m]$ và $a$ là một số dương khác 1 thì:
$$\int_{-m}^m\dfrac{f(x)}{a^x+1}dx=\int_{-m}^m\dfrac{a^xf(x)}{a^x+1}dx$$

Chứng minh: Đặt $t=-x⇒ x=-t ⇒ dx=-dt$. Khi đó: $$\displaystyle\int_{-m}^m\dfrac{f(x)}{a^x+1}dx=\int_{m}^{-m}\dfrac{f(-t)}{a^{-t}+1}(-dt)=\int_{-m}^m\dfrac{f(t)}{\dfrac{1}{a^t}+1}dt=\int_{-m}^m\dfrac{a^tf(t)}{a^t+1}dt=\int_{-m}^m\dfrac{a^xf(x)}{a^x+1}dx \ \text{(đpcm)} $$

2. Ta lấy hai tích phân bằng nhau nói trên cộng lại, kết quả sẽ là: $$2.\int_{-m}^{m}\dfrac{f(x)}{a^x+1}dx=\int_{-m}^m\dfrac{(a^x+1)f(x)}{a^x+1}dx=\int_{-m}^{m}f(x)dx$$

Do đó: $$\displaystyle \int_{-m}^{m}f(x)dx=2\int_{-m}^m\dfrac{f(x)}{a^x+1}dx$$

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Sử dụng Geogebra giải toán Ứng dụng toán học vào tài chính

Chuyên đề 12 – ứng dụng toán học vào tài chánh BÀI 1: PHẦN CHUẨN …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết