BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức 3 biến
- 22/11/2017
- 1,569 lượt xem
Đề bài: Cho các số thực [latex]x,y,z[/latex] thỏa mãn [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}=2[/latex]. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức [latex]P=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz[/latex]
Bài giải:
Viết lại biểu thức đã cho về dạng
[latex]P=\left ( x+y+z \right )\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \right )[/latex]Từ đẳng thức [latex]x^{2}+y^{2}+z^{2}+2\left ( xy+yz+zx \right )=\left ( x+y+z \right )^{2}[/latex]
Thay vào biểu thức [latex]P[/latex] thu được
[latex]P=\left ( x+y+z \right )\left ( 2-\frac{\left ( x+y+z \right )^{2}-2}{2} \right )[/latex]Đặt [latex]t=x+y+z[/latex], theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có [latex]-\sqrt{6}\leqslant t\leqslant \sqrt{6}[/latex]
Suy ra [latex]P=f\left ( t \right )=t\left ( 2-\frac{t^{2}-2}{2} \right )[/latex]
Xét hàm số [latex]f\left ( t \right )=t\left ( 2-\frac{t^{2}-2}{2} \right )[/latex] trên đoạn [latex]\left [ -\sqrt{6};\sqrt{6} \right ][/latex]
Tính đạo hàm [latex]f’\left ( t \right )=\frac{3}{2}\left ( 2-t^{2} \right )[/latex]
[latex]f’\left ( t \right )=0\Leftrightarrow t=\pm \sqrt{2}[/latex]
Tính các giá trị [latex]f\left ( -\sqrt{6} \right ),f\left ( \sqrt{6} \right ),f\left ( -\sqrt{2} \right ),f\left ( \sqrt{2} \right )[/latex] ta được
[latex]Maxf=f\left ( \sqrt{2} \right )=2\sqrt{2},Minf=f\left ( -\sqrt{2} \right )=-2\sqrt{2}[/latex]
About casiobitex
