Vận dụng công thức tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện

 

Ta có công thức: $\color{blue}R=\dfrac{S}{6V}$, trong đó $V$ là thể tích khối tứ diện, $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ với $a, b, c$ là lần lượt là tích của các cặp cạnh đối diện của khối tứ diện và $p=\dfrac{a+b+c}{2}$.

 

khoicau

 

hkglhp1

Các cặp cạnh đối diện của khối tứ diện là $AB=a, CD=a\sqrt2\ ; \ AD=a, BC=a\ ; \ BD=a\sqrt3, AC=a$.

 

Phương pháp truyền thống:
 
Trong tam giác $AHD$ vẽ đường trung trực cạnh $AD$ cắt cạnh $AH$ tại $I$. Theo hệ thức lượng trong đường tròn ta có:
$$AI.AH=\dfrac{AD^2}{2}\Rightarrow R=\dfrac{AD^2}{2AH}=\dfrac{a^2}{2\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2}}=a$$

 

Phương pháp dùng công thức:
 
Thể tích khối tứ diện $V=\dfrac13.S_{BCD}.AH=\dfrac13.\dfrac12.a^2\sqrt2.\sqrt{a^2-\left(\dfrac{a\sqrt3}{2}\right)^2}$ hkg1a

Tích của các cặp cạnh của khối tứ diện lần lượt là $1; \sqrt2 ; \sqrt3$ (đơn vị) lưu vào A, B, C tương ứng.
Thao tác trên máy tính cầm tay hkg1b 1

Trên MTCT không có chữ $p$ ta thay bằng D.
Áp dụng công thức $R=\dfrac{S}{6V}$ hkg1c

 
Vậy thể tích khối cầu $V_{\text{kc}}=\dfrac43\pi R^3=\dfrac{3\pi a^3}{4}$

 
 

Nhận xét: Phương pháp truyền thống có lợi thế khi ba cạnh bên cùng một đỉnh bằng nhau. Phương pháp dùng công thức có lợi thế khi gặp một khối tứ diện cho trước 6 cạnh. (Bài toán vận dụng cao).

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Tetrahedron

Vận dụng công thức góc giữa hai mặt bên của khối tứ diện

Hướng dẫn: Gọi $N$ là trung điểm $BC$. Nhận xét rằng vì $AB=AC$ và $SB=SC$ …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết