Hai cách làm tổng quát cho bài toán tìm hệ số trong khai triển Nhị thức Newton

Hai cách làm tổng quát cho bài toán tìm hệ số trong khai triển Nhị thức Newton

Tìm hệ số của [latex]x^8[/latex] trong khai triển [latex]{\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}}[/latex]

Cách 1:
Ta có:
[latex]\begin{array}{l} {\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}} = {\left[ {\left( {5{x^2} – 2x} \right) + 1} \right]^{20}}\\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k{{\left( {5{x^2} – 2x} \right)}^k}{{.1}^{20 – k}}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{x^k}C_{20}^k{{\left( {5x – 2} \right)}^k}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {\left[ {{x^k}C_{20}^k\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{{\left( {5x} \right)}^i}{{\left( { – 2} \right)}^{k – i}}} } \right]} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {\left[ {\sum\limits_{i = 0}^k {C_{20}^kC_k^i{5^i}{{\left( { – 2} \right)}^{k – i}}{x^{k + i}}} } \right]} \end{array}[/latex]

Số hạng của [latex]x^8[/latex] tương ứng với:

[latex]\left\{ \begin{array}{l} k + i = 8\\ 0 \le k \le 18\\ 0 \le i \le k \end{array} \right. \Rightarrow \left( {k;i} \right) \in \left\{ {\left( {8;0} \right);\left( {7;1} \right);\left( {6;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( {4;4} \right)} \right\}[/latex]

Vậy hệ số của [latex]x^8[/latex] trong khai triển là:

[latex]\begin{array}{l} {2^8}C_{20}^8 + {2^6}.5.C_{20}^7.C_7^1 + {2^4}{.5^2}.C_{20}^6.C_6^2 + {2^2}{.5^3}.C_{20}^5.C_5^3 + {5^4}.C_{20}^4.C_4^4\\ = 32248320 + 173644800 + 232560000 + 77520000 + 3028125\\ = 519001245 \end{array}[/latex]↵

Tính toán: Cách tính toán nhanh nhất là sử dụng phím CALC.

Cách 2: Số hạng tổng quát trong khai triển [latex]{\left( {1 – 2x + 5{x^2}} \right)^{20}}[/latex] [latex]\begin{array}{l} = \dfrac{{20!}}{{{n_1}!{n_2}!{n_3}!}}{.1^{{n_1}}}.{\left( { – 2x} \right)^{{n_2}}}.{\left( {5{x^2}} \right)^{{n_3}}}\\ = \dfrac{{20!}}{{{n_1}!{n_2}!{n_3}!}}.{\left( { – 2} \right)^{{n_2}}}.{\left( 5 \right)^{{n_3}}}.{x^{{n_2} + 2{n_3}}} \end{array}[/latex]

Ta có hệ phương trình:
[latex]\left\{ \begin{array}{l} {n_1} + {n_2} + {n_3} = 20\\ {n_2} + 2{n_3} = 8 \end{array} \right.[/latex]

Được các bộ số của [latex]\left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)[/latex] :[latex]\left( {16;0;4} \right);\left( {15;2;3} \right);\left( {14;4;2} \right);\left( {13;6;1} \right);\left( {12;8;0} \right)[/latex]

Được hệ số của [latex]x^8[/latex] là:

[latex]\begin{array}{l} \dfrac{{20!}}{{16!.0!.4!}}.{\left( { – 2} \right)^0}{.5^4} + \dfrac{{20!}}{{15!.2!.3!}}.{\left( { – 2} \right)^2}{.5^3} + \dfrac{{20!}}{{14!.4!.2!}}.{\left( { – 2} \right)^4}{.5^2} + \\ + \dfrac{{20!}}{{13!.6!.1!}}.{\left( { – 2} \right)^6}{.5^1} + \dfrac{{20!}}{{12!.8!.0!}}.{\left( { – 2} \right)^8}{.5^0}\\ = 3028125 + 77520000 + 232560000 + 173644800 + 32248320\\ = 519001295 \end{array}[/latex]

 

Tính toán: Cách nhanh nhất là khai thác sự hỗ trợ của phím CALC. 

Chia sẻ

About Bitex Casio

Bitex Casio

Bài Viết Tương Tự

cossin

SỬ DỤNG CASIO fx 580VNX ĐỂ GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC NHẤT SIN, COS- PHẦN 3

Tiếp nối Phần 1 và Phần 2, trong bài viết này Diễn đàn Toán Casio trình bày một vài bài toán luyện tập về phương trình bậc nhất đối với sin và cos.

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết