Đến bài toán tìm giá trị lớn nhất của hiệu hai khoảng cách

1. Bài toán mở đầu

GIẢI

Ta có $|AM-BM| \leqslant AB =\text{const}$

Vì $AB$ là hằng số nên $|AB-BM|$ đạt giá trị lớn nhắt khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”.

Khi đó $M$ nằm trên đường thẳng  $AB$ và nằm ngoài đoạn thẳng $AB$.

Vì $A$ và $B$ nằm ở cùng một phía đối với mặt phẳng nên $M$  là giao điểm của đường thẳng $AB$ với mặt phẳng $(P)$.

2. Bài toán mở rộng

GIẢI

Gợi ý: Nếu ta giải như trên

Do đó ta phải cải tiến thuật toán như sau:

1. 1. Gọi $B’$ là điểm đối xứng của điểm $B$ qua mặt phẳng $(P)$.
2. 2. Khi đó $|AM-BM|=|AM-B’M| \leqslant AB’= \text{const}$. Vậy $|AM-BM|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”. Khi đó $M$ nằm trên đường thẳng $AB’$ và nằm ngoài đoạn thẳng $AB’$.
3. 3. Vì $A$ và $B’$ nằm cùng một phía đối với mặt phẳng $(P)$ nên $M$ nhưu thế hoàn toàn được xác định và là giao điểm của đường thẳng $AB’$ với mặt phẳng $(P)$.

3. Áp dụng bằng số

GIẢI

Lấy toạ độ hai điểm $A$ và $B$ thay vào vế trái của phương trình mặt phẳng , các kết quả trái dấu nên $A$ và $B$ nằm về hai phía đối với mặt phẳng $(P)$.
Ta gọi $B’$ là đối đối xứng của $B$ qua mặt phẳng $(P)$.
Toạ độ hình chiếu vuông góc của $B$ trên $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình

Vậy $B'(23;-1;-22)$.
Ta có $|AM-BM|=|AM-B’M| \leqslant AB’= \text{cont}$ .Vậy $|AM-B|M$ lướn nhất khi và chỉ khi xảy ra dấu “bằng”. Khi đó $M$ nằm trên đường thẳng $AB’$ và nằm ngoài đoạn thẳng $AB’$.
 

Vì $A$ và $B’$ nằm về cùng một phía mặt phẳng $(P)$ nên điểm $M$ tồn tại và là giao điểm của đường thẳng $AB’$ với mặt phẳng $(P)$.
$\overrightarrow{AB’}=(18;-3;-15) // \overrightarrow{u}=(6;-1;-5)$.

Toạ độ giao điểm của $AB’$ với mặt phẳng $(P)$ là nghiệm của hệ phương trình

Đáp số $M(-1;3;-2)$.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).