BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
- 24/02/2022
- 101 lượt xem
Bài toán 1: Giải phương trình $x^2+6x-3=4x\sqrt{2x-1} (1)$
Hướng dẫn giải
Cách 1
Điều kiện: $\sqrt{2x-1}\geq{}0\Leftrightarrow{}x\geq{\dfrac{1}{2}}$
Nhận xét $(x^2+6x-3)>0, \forall{x\geq{\dfrac{1}{2}}}$
$(1)\Leftrightarrow{}x^4+30x^2+12x^3-36x+9=16x^2(2x-1)$
$\Leftrightarrow{}x^4-20x^3+46x^2-36x+9=0$
$\Leftrightarrow{}\left[\begin{array}{I}{{9-6\sqrt{2}}\\1\\{9+6\sqrt{2}}}\end{array}\right.$ (thỏa điều kiện)
Bấm chọn w924
Nhập phương trình và giải ta được nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\{9-6\sqrt{2};1;9+6\sqrt{2}\}$
Cách 2
Điều kiện: $\sqrt{2x-1}\geq{}0\iff{}x\geq{\dfrac{1}{2}}$
$(1)\Leftrightarrow{}x^2-4x\sqrt{2x-1}+3(2x-1)=0 (2)$
Đặt $\sqrt{2x-1}=y (y\geq{0})$
$(2)\Leftrightarrow{}x^2-4xy+3y^2=0$
$\Leftrightarrow{}x(x-y)-3y(x-y)=0$
$\Leftrightarrow{}(x-y)(x-3y)=0$
$\Leftrightarrow{}\left[\begin{array}{I}{{x-y=0}\\{x-3y=0}}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow{}\left[\begin{array}{I}{{x=\sqrt{2x-1}}\\{x=3\sqrt{2x-1}}}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow{}\left[\begin{array}{I}{\left\{\begin{array}{I}{x\geq{0}\\x^2-2x+1=0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{I}{x\geq{0}\\x^2-18x+9=0}\end{array}\right.}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow{}\left[\begin{array}{I}{x=1\\\left[\begin{array}{I}{x=9-6\sqrt{2}\\x=9+6\sqrt{2}}\end{array}\right.}\end{array}\right.$ (thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: $x=\{9-6\sqrt{2};1;9+6\sqrt{2}\}$
Bài toán 2: Giải phương trình $3(x^2-1)+4x=4x\sqrt{4x-3} (3)$
Hướng dẫn giải
Cách 1
Điều kiện $x\geq{\dfrac{3}{4}}$
$(3)\Leftrightarrow{}3x^2+4x-3=4x\sqrt{4x-3} (4)$
Đặt $\sqrt{4x-3}=y (y\geq{0})$
$(4)\Leftrightarrow{}3x^2-4xy+y^2=0$
$\Leftrightarrow{}(x-y)(3x-y)=0$
$\Leftrightarrow{}\left[\begin{array}{I}{x=y\\3x=y}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow{}\left[\begin{array}{I}{\left\{\begin{array}{I}{x\geq{0}\\x^2-4x+3=0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{I}{x\geq{0}\\9x^2-4x+3=0}\end{array}\right.}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow{}\left[\begin{array}{I}{\left[\begin{array}{I}{x=1\\x=3}\end{array}\right.}\\{Hệ vô nghiệm}\end{array}\right.$ (thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là $x=\{1;3\}$
Cách 2
Điều kiện $x\geq{\dfrac{3}{4}}$
$(3)\Leftrightarrow{}3x^2+4x-3=4x\sqrt{4x-3}$
$\Leftrightarrow{}4x^2-4x\sqrt{4x-3}+4x-3=x^2$
$\Leftrightarrow{}(2x-\sqrt{4x-3})^2=x^2$
$\Leftrightarrow{}\left[\begin{array}{I}{x=\sqrt{4x-3}\\3x=\sqrt{4x-3}}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow{}\left[\begin{array}{I}{\left\{\begin{array}{I}{x\geq{0}\\x^2-4x+3=0}\end{array}\right.}\\{\left\{\begin{array}{I}{x\geq{0}\\9x^2-4x+3=0}\end{array}\right.}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow{}\left[\begin{array}{I}{\left[\begin{array}{I}{x=1\\x=3}\end{array}\right.}\\{Hệ vô nghiệm}\end{array}\right.$ (thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là $x=\{1;3\}$
Bài toán 3: Giải bất phương trình $2x^2-3x+2\leq{}x\sqrt{3x-2} (5)$
Hướng dẫn giải
Cách 1
Điều kiện $x\geq{\dfrac{2}{3}}\Leftrightarrow{}x\geq{\dfrac{2}{3}}$
Đặt $\sqrt{3x-2}=t (t\geq{0})$
$(5)\Leftrightarrow{}2x^2-t^2\leq{xt}$
$\Leftrightarrow{}2x(x-t)+t(x-t)\leq{0}$
$\Leftrightarrow{}(2x+t)(x-t)\leq{0} (6)$
Ta có $x\geq{\dfrac{2}{3}};t\geq{0}\Rightarrow{}2x+t>0$
$(6)\Leftrightarrow{}x-t\leq{0}$
$\Leftrightarrow{}x\leq{\sqrt{3x-2}}$
$\Leftrightarrow{}\left\{\begin{array}{I}{x\geq{\dfrac{2}{3}}\\{x^2-3x+2\leq{0}}}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow{}\left\{\begin{array}{I}{x\geq{\dfrac{2}{3}}}\\{1\leq{}x\leq{}2}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow{}{1\leq{}x\leq{}2}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x=[1;2]$
Cách 2
Điều kiện $x\geq{\dfrac{2}{3}}\Leftrightarrow{}x\geq{\dfrac{2}{3}}$
Nhận xét $x\geq{\dfrac{2}{3}}\Rightarrow{}(2x^2-3x+2)x>0$
$(5)\Leftrightarrow{}4x^4+(3x-2)^2-4x^2(3x-2)\leq{x^2(3x-2)}$
$\Leftrightarrow{}4x^4-5x^2(3x-2)+(3x-2)^2\leq{0}$
$\Leftrightarrow{}(x^2-3x+2)(4x^2-3x+2)\leq{0} (7)$
Ta có $4x^2-3x+2=4(x-\dfrac{3}{8})^2+\dfrac{23}{16}>0$
$(7)\Leftrightarrow{}x^2-3x+2\leq{0}$
$\Leftrightarrow{}{1\leq{}x\leq{}2}$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $x=[1;2]$
About Toanbitexdtgd1
