BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN-PHẦN 2
- 16/03/2022
- 401 lượt xem
Nhắc lại:
1. Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn có tâm $I(a;b)$ và bán kính $R$: $\mathbf{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2}$
Nhận xét: Phương trình $\mathbf{x^2+y^2+2ax+2by+c=0}$, với $a^2+b^2-c>0$, là phương trình đường tròn tâm $I(-a;-b)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn $(C)$ có tâm $I$, bán kính $R$ và đường thẳng $\Delta$
$\mathbf{\Delta}$ tiếp xúc với $\mathbf{(C)\iff{}d(I,\Delta)=R}$
VẤN ĐỀ 3: TẬP HỢP ĐIỂM
1. Tập hợp các tâm đường tròn
Để tìm tập hợp các tâm $I$ của đường tròn $(C)$, ta có thể thực hiện như sau:
a) Tìm giá trị của $m$ để tồn tại tâm $I$
b) Tìm tọa độ tâm $I$. Giả sử: $I\left\{ \begin{array}{l}{x=f(m)\\y=g(m)}\end{array}\right.$
c) Khử $m$ giữa $x$ và $y$ ta được phương trình $F(x;y)=0$
d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của $m$ ở a) để giới hạn miền của $x$ hoặc $y$
e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là $F(x;y)=0$ cùng với phần giới hạn ở d)
2. Tập hợp điểm là đường tròn
Thực hiện tương tự như trên
VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG $d$ VÀ ĐƯỜNG TRÒN $(C)$
Để biện luận số giao điểm của đường thẳng $d: Ax+By+C=0$ và đường tròn $(C): x^2+y^2+2ax+2by+c=0$, ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm $I$ đến $d$ với bán kính $R$
– Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của $(C)$
– Tính khoảng cách từ $I$ đến $d$
$d(I,d)<R\iff{}d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt
$d(I,d)=R\iff{}d$ tiếp xúc với $(C)$
$d(I,d)>R\iff{}d$ và $(C)$ không có điểm chung
Cách 2: Tọa độ giao điểm (nếu có) của $d$ và $(C)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}{{Ax+By+C=0}\\{x^2+y^2+2ax+2by+c=0}}\end{array}\right. (*)$$
– Hệ (*) có $2$ nghiệm $\iff{}d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt
– Hệ (*) có $1$ nghiệm $\iff{}d$ tiếp xúc với $(C)$
– Hệ (*) vô nghiệm $\iff{}d$ và $(C)$ không có điểm chung
Bài toán 1: Biện luận theo $m$ số giao điểm của đường thẳng $d$ và đường tròn $(C)$ với:
$d: mx-y-3m-2=0, (C): x^2+y^2-4x-2y=0$
Hướng dẫn giải:
Tâm $I(-a;-b)=(2;1)$
Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c}=\sqrt{5}$
Khoảng cách từ $I$ đến $d$
$d(I,d)=\dfrac{|a{x_I}+b{y_I}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|-5m-1|}{\sqrt{m^2+1}}$
Để $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt thì
$\dfrac{|-m-3|}{\sqrt{m^2+1}}<\sqrt{5}$
$\iff{}{4m^2-6m-4}>0$
$\iff{}\left[ \begin{array}{l}{{x<-\dfrac{1}{2}}\\{x>2}}\end{array}\right.$
Để $d$ tiếp xúc với $(C)$ thì
$\dfrac{|-m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5}$
$\iff{}{4m^2-6m-4}=0$
$\iff{}\left[ \begin{array}{l}{{x=-\dfrac{1}{2}}\\{x=2}}\end{array}\right.$
Để $d$ và $(C)$ không có điểm chung thì
$\dfrac{|-m-3|}{\sqrt{m^2+1}}>\sqrt{5}$
$\iff{}{4m^2-6m-4}<0$
$\iff{}{-\dfrac{1}{2}<x<2}$
VẤN ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN $({C_1})$ VÀ $({C_2})$
Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn
$({C_1}): x^2+y^2+2{a_1}x+2{b_1}y+{c_1}=0, ({C_2}): x^2+y^2+2{a_2}x+2{b_2}y+{c_2}=0$
ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm ${I_1}{I_2}$ với các bán kính ${R_1}, {R_2}$
$|{R_1}-{R_2}|<{I_1}{I_2}<{R_1}+{R_2} \iff{}({C_1})$ cắt $({C_2})$ tại $2$ điểm
${I_1}{I_2}={R_1}+{R_2} \iff{}({C_1})$ tiếp xúc ngoài với $({C_2})$
${I_1}{I_2}=|{R_1}-{R_2}| \iff{}({C_1})$ tiếp xúc trong với $({C_2})$
${I_1}{I_2}>{R_1}+{R_2} \iff{}({C_1})$ và $({C_2})$ ở ngoài nhau
${I_1}{I_2}<|{R_1}-{R_2}| \iff{}({C_1})$ và $({C_2})$ ở trong nhau
Cách 2: Tọa độ các giao điểm (nếu có) của $({C_1})$ và $({C_2})$ là nghiệm của hệ phương trình:
$$\left\{ \begin{array}{l}{{x^2+y^2+2{a_1}x+2{b_1}y+{c_1}=0}\\{x^2+y^2+2{a_2}x+2{b_2}y+{c_2}=0}}\end{array}\right. (*)$$
– Hệ (*) có hai nghiệm $\iff{}({C_1})$ cắt $({C_2})$ tại $2$ điểm
– Hệ (*) có một nghiệm $\iff{}({C_1})$ tiếp xúc với $({C_2})$
– Hệ (*) vô nghiệm $\iff{}({C_1})$ cắt $({C_2})$ không có điểm chung
Bài toán 2: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn $({C_1})$ và $({C_2})$, tìm tọa độ giao điểm (nếu có)
$({C_1}): x^2+y^2+6x-10y+24=0, ({C_2}): x^2+y^2-6x-4y-12=0$
Hướng dẫn giải:
Tâm ${I_1}(-3;5)$
Bán kính ${R_1}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{34}$
Tâm ${I_2}(3;2)$
Bán kính ${R_2}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{13}$
Độ dài đoạn nối tâm ${I_1}{I_2}=\sqrt{({x_{I_2}}-{x_{I_1}})^2+({y_{I_2}}-{y_{I_1}})^2}=3\sqrt{5}\approx{}6,7082$
${R_1}+{R_2}=\sqrt{34}+\sqrt{13}\approx{}9,4365$
$|{R_1}-{R_2}|=|\sqrt{34}-\sqrt{13}|\approx{}2,2254$
Ta nhận thấy $|{R_1}-{R_2}|<{I_1}{I_2}<{R_1}+{R_2} (2,2254<6,7082<9,4365) \iff{}({C_1})$ cắt $({C_2})$ tại $2$ điểm
Tọa độ giao điểm:
$$\left\{ \begin{array}{l}{{x^2+y^2+6x-10y+24=0}\\{x^2+y^2-6x-4y-12=0}}\end{array}\right.$$ (*)
Vì $({C_1})$ cắt $({C_2})$ tại $2$ điểm nên hệ (*) có hai nghiệm.
Vậy các tọa độ giao điểm của $({C_1})$ và $({C_2})$ là những điểm thỏa phương trình $2x-y+6=0$
About Toanbitexdtgd1
