PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN-PHẦN 2

  • 16/03/2022
  • 28 lượt xem
  • thaohlt

Nhắc lại:

1. Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn có tâm $I(a;b)$ và bán kính $R$: $\mathbf{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2}$

Nhận xét: Phương trình $\mathbf{x^2+y^2+2ax+2by+c=0}$, với $a^2+b^2-c>0$, là phương trình đường tròn tâm $I(-a;-b)$, bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho đường tròn $(C)$ có tâm $I$, bán kính $R$ và đường thẳng $\Delta$

$\mathbf{\Delta}$ tiếp xúc với $\mathbf{(C)\iff{}d(I,\Delta)=R}$

 

VẤN ĐỀ 3: TẬP HỢP ĐIỂM

1. Tập hợp các tâm đường tròn

Để tìm tập hợp các tâm $I$ của đường tròn $(C)$, ta có thể thực hiện như sau:

a) Tìm giá trị của $m$ để tồn tại tâm $I$

b) Tìm tọa độ tâm $I$. Giả sử: $I\left\{ \begin{array}{l}{x=f(m)\\y=g(m)}\end{array}\right.$

c) Khử $m$ giữa $x$ và $y$ ta được phương trình $F(x;y)=0$

d) Giới hạn: Dựa vào điều kiện của $m$ ở a) để giới hạn miền của $x$ hoặc $y$

e) Kết luận: Phương trình tập hợp điểm là $F(x;y)=0$ cùng với phần giới hạn ở d)

2. Tập hợp điểm là đường tròn

Thực hiện tương tự như trên

 

VẤN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG $d$ VÀ ĐƯỜNG TRÒN $(C)$

Để biện luận số giao điểm của đường thẳng $d: Ax+By+C=0$ và đường tròn $(C): x^2+y^2+2ax+2by+c=0$, ta có thể thực hiện như sau:

Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm $I$ đến $d$ với bán kính $R$

– Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của $(C)$

– Tính khoảng cách từ $I$ đến $d$

$d(I,d)<R\iff{}d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt

$d(I,d)=R\iff{}d$ tiếp xúc với $(C)$

$d(I,d)>R\iff{}d$ và $(C)$ không có điểm chung

Cách 2: Tọa độ giao điểm (nếu có) của $d$ và $(C)$ là nghiệm của hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}{{Ax+By+C=0}\\{x^2+y^2+2ax+2by+c=0}}\end{array}\right. (*)$$

– Hệ (*) có $2$ nghiệm $\iff{}d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt

– Hệ (*) có $1$ nghiệm $\iff{}d$ tiếp xúc với $(C)$

– Hệ (*) vô nghiệm $\iff{}d$ và $(C)$ không có điểm chung

Bài toán 1: Biện luận theo $m$ số giao điểm của đường thẳng $d$ và đường tròn $(C)$ với:

$d: mx-y-3m-2=0, (C): x^2+y^2-4x-2y=0$

Hướng dẫn giải:

Tâm $I(-a;-b)=(2;1)$

Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c}=\sqrt{5}$

Khoảng cách từ $I$ đến $d$

$d(I,d)=\dfrac{|a{x_I}+b{y_I}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{|-5m-1|}{\sqrt{m^2+1}}$

Để $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt thì

$\dfrac{|-m-3|}{\sqrt{m^2+1}}<\sqrt{5}$

$\iff{}{4m^2-6m-4}>0$

$\iff{}\left[ \begin{array}{l}{{x<-\dfrac{1}{2}}\\{x>2}}\end{array}\right.$

15

Để $d$ tiếp xúc với $(C)$ thì

$\dfrac{|-m-3|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{5}$

$\iff{}{4m^2-6m-4}=0$

$\iff{}\left[ \begin{array}{l}{{x=-\dfrac{1}{2}}\\{x=2}}\end{array}\right.$

16 1 17

Để $d$ và $(C)$ không có điểm chung thì

$\dfrac{|-m-3|}{\sqrt{m^2+1}}>\sqrt{5}$

$\iff{}{4m^2-6m-4}<0$

$\iff{}{-\dfrac{1}{2}<x<2}$

18

 

VẤN ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN $({C_1})$ VÀ $({C_2})$

Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn

$({C_1}): x^2+y^2+2{a_1}x+2{b_1}y+{c_1}=0, ({C_2}): x^2+y^2+2{a_2}x+2{b_2}y+{c_2}=0$

ta có thể thực hiện như sau:

Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm ${I_1}{I_2}$ với các bán kính ${R_1}, {R_2}$

$|{R_1}-{R_2}|<{I_1}{I_2}<{R_1}+{R_2} \iff{}({C_1})$ cắt $({C_2})$ tại $2$ điểm

${I_1}{I_2}={R_1}+{R_2} \iff{}({C_1})$ tiếp xúc ngoài với $({C_2})$

${I_1}{I_2}=|{R_1}-{R_2}| \iff{}({C_1})$ tiếp xúc trong với $({C_2})$

${I_1}{I_2}>{R_1}+{R_2} \iff{}({C_1})$ và $({C_2})$ ở ngoài nhau

${I_1}{I_2}<|{R_1}-{R_2}| \iff{}({C_1})$ và $({C_2})$ ở trong nhau

Cách 2: Tọa độ các giao điểm (nếu có) của $({C_1})$ và $({C_2})$ là nghiệm của hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}{{x^2+y^2+2{a_1}x+2{b_1}y+{c_1}=0}\\{x^2+y^2+2{a_2}x+2{b_2}y+{c_2}=0}}\end{array}\right. (*)$$

– Hệ (*) có hai nghiệm $\iff{}({C_1})$ cắt $({C_2})$ tại $2$ điểm

– Hệ (*) có một nghiệm $\iff{}({C_1})$ tiếp xúc với $({C_2})$

– Hệ (*) vô nghiệm $\iff{}({C_1})$ cắt $({C_2})$ không có điểm chung

Bài toán 2: Xét vị trí tương đối của hai đường tròn $({C_1})$ và $({C_2})$, tìm tọa độ giao điểm (nếu có)

$({C_1}): x^2+y^2+6x-10y+24=0, ({C_2}): x^2+y^2-6x-4y-12=0$

Hướng dẫn giải:

Tâm ${I_1}(-3;5)$

Bán kính ${R_1}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{34}$

Tâm ${I_2}(3;2)$

Bán kính ${R_2}=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{13}$

Độ dài đoạn nối tâm ${I_1}{I_2}=\sqrt{({x_{I_2}}-{x_{I_1}})^2+({y_{I_2}}-{y_{I_1}})^2}=3\sqrt{5}\approx{}6,7082$

1921

${R_1}+{R_2}=\sqrt{34}+\sqrt{13}\approx{}9,4365$

20

$|{R_1}-{R_2}|=|\sqrt{34}-\sqrt{13}|\approx{}2,2254$

22

Ta nhận thấy $|{R_1}-{R_2}|<{I_1}{I_2}<{R_1}+{R_2} (2,2254<6,7082<9,4365) \iff{}({C_1})$ cắt $({C_2})$ tại $2$ điểm

Tọa độ giao điểm:

$$\left\{ \begin{array}{l}{{x^2+y^2+6x-10y+24=0}\\{x^2+y^2-6x-4y-12=0}}\end{array}\right.$$    (*)

Vì $({C_1})$ cắt $({C_2})$ tại $2$ điểm nên hệ (*) có hai nghiệm.

Vậy các tọa độ giao điểm của $({C_1})$ và $({C_2})$ là những điểm thỏa phương trình $2x-y+6=0$

 

 

 

Chia sẻ

About Toanbitexdtgd1

Huỳnh Lê Thu Thảo

Bài Viết Tương Tự

Giải câu 41 minh họa 2022

  Ta có: $F(1)=F(0)+\displaystyle \int_0^1f(x)dx$ $f(x)=12.\dfrac{x^3}{3}+2x+C$ với $C=f(1)-12\times \dfrac13-2$   Vậy  $F(1)=$

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết