BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Giải hệ phương trình khối A năm 2012
- 08/11/2017
- 172 lượt xem
Đề bài: Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
[latex]\left\{\begin{matrix} x^{3}-3x^{2}-9x+22=y^{3}+3y^{2}-9y & & \\ x^{2}+y^{2}-x+y=\frac{1}{2} & & \end{matrix}\right.[/latex]Bài giải:
Nhập phương trình thứ nhất của hệ vào máy tính cho [latex]y=1000[/latex] máy cho kết quả [latex]x=1002[/latex]
Suy ra [latex]x=y+2\Leftrightarrow x-1=y+1[/latex]
Viết phương trình thứ nhất của hệ về dạng:
[latex]\left ( x-1 \right )^{3}-12\left ( x-1 \right )=\left ( y+1 \right )^{3}-12\left ( y+1 \right )[/latex]Từ phương trình thứ hai của hệ ta có [latex]\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{2} \right )^{2}=1[/latex]
Do đó
[latex]\left | x-\frac{1}{2} \right |, \left | y+\frac{1}{2} \right |\leqslant 1[/latex]Suy ra [latex]-\frac{3}{2}\leqslant x-1,y+1\leqslant \frac{3}{2}[/latex]
Xét hàm số [latex]f\left ( t \right )=t^{3}-12t[/latex] trên đoạn [latex]\left [ -\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right ][/latex]
Tính đạo hàm [latex]f’\left ( t \right )=3t^{2}-12<0\left ( \forall t\in \left [ -\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right ] \right )[/latex]
Hàm số [latex]f\left ( t \right )[/latex] nghịch biến trên đoạn [latex]\left [ -\frac{3}{2};\frac{3}{2} \right ][/latex]
Từ đó [latex]f\left ( x-1 \right )=f\left ( y+1 \right )\Rightarrow x-1=y+1\Leftrightarrow y=x-2[/latex]
Thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình:
[latex]4x^{2}-8x+3=0\Leftrightarrow \left ( 2x-1 \right )\left ( 2x-3 \right )=0[/latex]Từ đây tìm được nghiệm của hệ đã cho là [latex]\left ( x; y \right )=\left \{ \left ( \frac{1}{2} ;-\frac{3}{2}\right ),\left ( \frac{3}{2};-\frac{1}{2} \right ) \right \}[/latex]
About casiobitex
