ĐỊNH LÝ COSIN, ĐỊNH LÝ SIN VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

  • 03/03/2022
  • 173 lượt xem
  • thaohlt

29 1

Tam giác $ABC$ bất kỳ, ta có:

Độ dài các cạnh là $a=BC, b=CA, c=AB$

Các góc của tam giác được ký hiệu là $A, B, C$

Nửa chu vi $p=\dfrac{a+b+c}{2}$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là $r$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R$

 

1. Định lý Sin

$$\mathbf{\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R}$$

 

2. Định lý Cosin

$$\mathbf{a^2=b^2+c^2-2bccosA}$$

$$\mathbf{b^2=a^2+c^2-2accosB}$$

$$\mathbf{c^2=a^2+b^2-2abcosC}$$

Hệ quả của định lý Cosin: Công thức tính góc từ độ dài ba cạnh của tam giác

$$\mathbf{cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$$

$$\mathbf{cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}$$

$$\mathbf{cosC=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}$$

 

3. Công thức trung tuyến

$$\mathbf{{m_a}^2=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}}$$

$$\mathbf{{m_b}^2=\dfrac{c^2+a^2}{2}-\dfrac{b^2}{4}}$$

$$\mathbf{{m_c}^2=\dfrac{a^2+b^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}}$$

Trong đó ${m_a}, {m_b}, {m_c}$ lần lượt là độ dài trung tuyến kẻ từ $A, B, C$

 

4. Các công thức tính diện tích tam giác

$$\mathbf{S=\dfrac{1}{2}a{h_a}=\dfrac{1}{2}b{h_b}= \dfrac{1}{2}c{h_c}}$$

$$\mathbf{S=\dfrac{1}{2}absinC=\dfrac{1}{2}acsinB=\dfrac{1}{2}bcsinA}$$

$$\mathbf{S=\dfrac{abc}{4R}}$$

$$\mathbf{S=pr}$$

$$\mathbf{S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$

Trong đó ${h_a}, {h_b}, {h_c}$ lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ $A, B, C$

 

5. Ứng dụng giải bài toán

Bài toán 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A}=100^o$. Giả sử $P$ là một điểm trong tam giác sao cho $\widehat{PBC}=20^o, \widehat{PCB}=30^o$. Chứng minh rằng $BP=BA$

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Sin cho tam giác $ABC$, ta có: $\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AB}{sinC}$ hay

$$BC=AB\dfrac{sin100^o}{sin40^o}=2ABsin50^o$$

Lại áp dụng định lý Sin cho tam giác $BPC$, ta có: $\dfrac{BP}{\sin{\widehat{BCP}}}=\dfrac{AB}{\sin{\widehat{BPC}}}$ hay

$$BP+BC\dfrac{\sin30^o}{\sin130^o}=2AB\sin50^o\dfrac{\sin30^o}{\sin130^o}=2AB\sin30^o=AB$$

Vậy $BP=BA$

 

Bài toán 2: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $\widehat{A}=80^o$. Trên hai cạnh $BC$ và $AC$ lấy điểm $D$ và $E$ sao cho $\widehat{BAD}=50^o$, $\widehat{ABE}=30^o$. Tính $BED$

Hướng dẫn giải:

Giả sử $AD$ cắt $BE$ tại $O$. Ta có $\widehat{AOB}=100^o, \widehat{BDA}=80^o, \widehat{CBE}=20^o, \widehat{AEB}=70^o, \widehat{CAD}=30^o$

Áp dụng định lý Sin cho tam giác $ODB$, ta có: $\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{\sin{20^o}}{\sin{80^o}}$

Tương tự: $\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{\sin{50^o}}{\sin{30^o}}$, $\dfrac{OA}{OE}=\dfrac{\sin{70^o}}{\sin{30^o}}$

Do đó: $\dfrac{OD}{OE}= \dfrac{OD}{OB} \dfrac{OB}{OA} \dfrac{OA}{OE}=\dfrac{\sin{20^o}}{\sin{80^o}}\dfrac{\sin{50^o}}{\sin{30^o}}\dfrac{\sin{70^o}}{\sin{30^o}}=1$

23

Suy ra tam giác $ODE$ cân tại $O$ mà $\widehat{EOD}=\widehat{AOB}=100^o$ nên $\widehat{BED}=40^o$

 

Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn bán kính bằng $3$, biết $\widehat{A}=30^o, \widehat{B}=45^o$. Tính độ dài trung tuyến kẻ từ $A$ và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Hướng dẫn giải:

Ta có $\widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}=180^o-30^o-45^o=105^o$

Theo định lý Sin, ta có:

$a=2RsinA=2.3.sin30^o=3$

$b=2RsinB=2.3.sin45^o=3\sqrt{2}$

$c=2RsinC=2.3.sin105^o\approx{5,796}$

Theo công thức đường trung tuyến, ta có:

${m_a}^2=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{{3\sqrt{2}}^2+5,796^2}{2}-\dfrac{3^2}{4}=23,546808\approx{23,547}$

24 1

Theo công thức tính diện tích tam giác, ta có:

${S_{ABC}}=pr=\dfrac{1}{2}bcsinA \rightarrow{}r=\dfrac{bcsinA}{2p}=\dfrac{3\sqrt{2}.5,796.sin30^o}{3+3\sqrt{2}+5,796}\approx{0,943}$

25 1

 

Bài toán 4: Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Biết $AB=3, BC=8, \cos\widehat{AMB}=\dfrac{5\sqrt{13}}{26}$. Tính độ dài cạnh $AC$ và góc lớn nhất của tam giác $ABC$

Hướng dẫn giải:

$BC=8\rightarrow{}BM=4$

Đặt $AM=x$

Theo định lý Cosin, ta có:

$\cos\widehat{AMB}=\dfrac{AM^2+BM^2-AB^2}{2AM.BM}$

$\iff{}\dfrac{5\sqrt{13}}{26}=\dfrac{x^2+16-9}{2.4.x}$

$\iff{}13x^2-20\sqrt{13}x-91=0$

26 1 27 1 28 1

$\iff{}\left[\begin{array}{I}{x=\sqrt{13}\\x=\dfrac{7\sqrt{13}}{13}}\end{array}\right.$

Theo công thức đường trung tuyến, ta có:

$AM^2=\dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{2.AB.AC}$

Trường hợp 1: Nếu $x=\sqrt{13}\rightarrow{}13=\dfrac{2(3^2+AC^2)-8^2}{4}\rightarrow{}AC=7$

Ta có: $BC>AC>AB\rightarrow{} \widehat{A}$ lớn nhất

Theo định lý Cosin, ta có:

$cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}=\dfrac{-1}{7}$

30 1

Suy ra $\widehat{A}\approx{98^o12′}$

Trường hợp 2: Nếu $x=\dfrac{7\sqrt{13}}{13}\rightarrow{}\dfrac{49}{13}=\dfrac{2(3^2+AC^2)-64}{4}\rightarrow{}AC=\sqrt{\dfrac{397}{13}}$

Ta có $BC>AC>AB\rightarrow{}\widehat{A}$ lớn nhất

Theo định lý Cosin, ta có:

$cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}=\dfrac{-53}{\sqrt{5161}}$

31 1

Suy ra $\widehat{A}\approx{137^o32′}$

 

Chia sẻ

About Toanbitexdtgd1

Huỳnh Lê Thu Thảo

Bài Viết Tương Tự

Giải câu 41 minh họa 2022

  Ta có: $F(1)=F(0)+\displaystyle \int_0^1f(x)dx$ $f(x)=12.\dfrac{x^3}{3}+2x+C$ với $C=f(1)-12\times \dfrac13-2$   Vậy  $F(1)=$

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết