BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
ĐỊNH LÝ COSIN, ĐỊNH LÝ SIN VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC
- 03/03/2022
- 5,720 lượt xem
Tam giác $ABC$ bất kỳ, ta có:
Độ dài các cạnh là $a=BC, b=CA, c=AB$
Các góc của tam giác được ký hiệu là $A, B, C$
Nửa chu vi $p=\dfrac{a+b+c}{2}$
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là $r$
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R$
1. Định lý Sin
$$\mathbf{\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}=2R}$$
2. Định lý Cosin
$$\mathbf{a^2=b^2+c^2-2bccosA}$$
$$\mathbf{b^2=a^2+c^2-2accosB}$$
$$\mathbf{c^2=a^2+b^2-2abcosC}$$
Hệ quả của định lý Cosin: Công thức tính góc từ độ dài ba cạnh của tam giác
$$\mathbf{cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}$$
$$\mathbf{cosB=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}$$
$$\mathbf{cosC=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}$$
3. Công thức trung tuyến
$$\mathbf{{m_a}^2=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}}$$
$$\mathbf{{m_b}^2=\dfrac{c^2+a^2}{2}-\dfrac{b^2}{4}}$$
$$\mathbf{{m_c}^2=\dfrac{a^2+b^2}{2}-\dfrac{c^2}{4}}$$
Trong đó ${m_a}, {m_b}, {m_c}$ lần lượt là độ dài trung tuyến kẻ từ $A, B, C$
4. Các công thức tính diện tích tam giác
$$\mathbf{S=\dfrac{1}{2}a{h_a}=\dfrac{1}{2}b{h_b}= \dfrac{1}{2}c{h_c}}$$
$$\mathbf{S=\dfrac{1}{2}absinC=\dfrac{1}{2}acsinB=\dfrac{1}{2}bcsinA}$$
$$\mathbf{S=\dfrac{abc}{4R}}$$
$$\mathbf{S=pr}$$
$$\mathbf{S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}$$
Trong đó ${h_a}, {h_b}, {h_c}$ lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ $A, B, C$
5. Ứng dụng giải bài toán
Bài toán 1: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A}=100^o$. Giả sử $P$ là một điểm trong tam giác sao cho $\widehat{PBC}=20^o, \widehat{PCB}=30^o$. Chứng minh rằng $BP=BA$
Hướng dẫn giải:
Áp dụng định lý Sin cho tam giác $ABC$, ta có: $\dfrac{BC}{sinA}=\dfrac{AB}{sinC}$ hay
$$BC=AB\dfrac{sin100^o}{sin40^o}=2ABsin50^o$$
Lại áp dụng định lý Sin cho tam giác $BPC$, ta có: $\dfrac{BP}{\sin{\widehat{BCP}}}=\dfrac{AB}{\sin{\widehat{BPC}}}$ hay
$$BP+BC\dfrac{\sin30^o}{\sin130^o}=2AB\sin50^o\dfrac{\sin30^o}{\sin130^o}=2AB\sin30^o=AB$$
Vậy $BP=BA$
Bài toán 2: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ với $\widehat{A}=80^o$. Trên hai cạnh $BC$ và $AC$ lấy điểm $D$ và $E$ sao cho $\widehat{BAD}=50^o$, $\widehat{ABE}=30^o$. Tính $BED$
Hướng dẫn giải:
Giả sử $AD$ cắt $BE$ tại $O$. Ta có $\widehat{AOB}=100^o, \widehat{BDA}=80^o, \widehat{CBE}=20^o, \widehat{AEB}=70^o, \widehat{CAD}=30^o$
Áp dụng định lý Sin cho tam giác $ODB$, ta có: $\dfrac{OD}{OB}=\dfrac{\sin{20^o}}{\sin{80^o}}$
Tương tự: $\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{\sin{50^o}}{\sin{30^o}}$, $\dfrac{OA}{OE}=\dfrac{\sin{70^o}}{\sin{30^o}}$
Do đó: $\dfrac{OD}{OE}= \dfrac{OD}{OB} \dfrac{OB}{OA} \dfrac{OA}{OE}=\dfrac{\sin{20^o}}{\sin{80^o}}\dfrac{\sin{50^o}}{\sin{30^o}}\dfrac{\sin{70^o}}{\sin{30^o}}=1$
Suy ra tam giác $ODE$ cân tại $O$ mà $\widehat{EOD}=\widehat{AOB}=100^o$ nên $\widehat{BED}=40^o$
Bài toán 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn bán kính bằng $3$, biết $\widehat{A}=30^o, \widehat{B}=45^o$. Tính độ dài trung tuyến kẻ từ $A$ và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Hướng dẫn giải:
Ta có $\widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}=180^o-30^o-45^o=105^o$
Theo định lý Sin, ta có:
$a=2RsinA=2.3.sin30^o=3$
$b=2RsinB=2.3.sin45^o=3\sqrt{2}$
$c=2RsinC=2.3.sin105^o\approx{5,796}$
Theo công thức đường trung tuyến, ta có:
${m_a}^2=\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}=\dfrac{{3\sqrt{2}}^2+5,796^2}{2}-\dfrac{3^2}{4}=23,546808\approx{23,547}$
Theo công thức tính diện tích tam giác, ta có:
${S_{ABC}}=pr=\dfrac{1}{2}bcsinA \rightarrow{}r=\dfrac{bcsinA}{2p}=\dfrac{3\sqrt{2}.5,796.sin30^o}{3+3\sqrt{2}+5,796}\approx{0,943}$
Bài toán 4: Cho tam giác $ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Biết $AB=3, BC=8, \cos\widehat{AMB}=\dfrac{5\sqrt{13}}{26}$. Tính độ dài cạnh $AC$ và góc lớn nhất của tam giác $ABC$
Hướng dẫn giải:
$BC=8\rightarrow{}BM=4$
Đặt $AM=x$
Theo định lý Cosin, ta có:
$\cos\widehat{AMB}=\dfrac{AM^2+BM^2-AB^2}{2AM.BM}$
$\iff{}\dfrac{5\sqrt{13}}{26}=\dfrac{x^2+16-9}{2.4.x}$
$\iff{}13x^2-20\sqrt{13}x-91=0$
$\iff{}\left[\begin{array}{I}{x=\sqrt{13}\\x=\dfrac{7\sqrt{13}}{13}}\end{array}\right.$
Theo công thức đường trung tuyến, ta có:
$AM^2=\dfrac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{2.AB.AC}$
Trường hợp 1: Nếu $x=\sqrt{13}\rightarrow{}13=\dfrac{2(3^2+AC^2)-8^2}{4}\rightarrow{}AC=7$
Ta có: $BC>AC>AB\rightarrow{} \widehat{A}$ lớn nhất
Theo định lý Cosin, ta có:
$cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}=\dfrac{-1}{7}$
Suy ra $\widehat{A}\approx{98^o12′}$
Trường hợp 2: Nếu $x=\dfrac{7\sqrt{13}}{13}\rightarrow{}\dfrac{49}{13}=\dfrac{2(3^2+AC^2)-64}{4}\rightarrow{}AC=\sqrt{\dfrac{397}{13}}$
Ta có $BC>AC>AB\rightarrow{}\widehat{A}$ lớn nhất
Theo định lý Cosin, ta có:
$cosA=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2.AB.AC}=\dfrac{-53}{\sqrt{5161}}$
Suy ra $\widehat{A}\approx{137^o32′}$
About Toanbitexdtgd1
