Hướng dẫn giải bài toán dành cho học sinh giỏi ở Trung Quốc

Đây là bài toán dành cho học sinh giỏi ở Trung Quốc, từng được thách đố cả tỷ USD, nhưng cách giải nó lại đơn giản như thế này đây.

Có một hình vuông cạnh $10 cm$ chứa một hình tròn tiếp xúc với 4 cạnh của hình vuông. Tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ dưới đây (phần giao của hình tròn này với hai cung tròn tâm là hai đỉnh hình vuông bán kính $10 cm$).

139401473 2574882486142181 7206988054821364970 n

Liệu bạn có giải được bài toán này với kiến thức từ lớp 11 trở xuống không?

(Tham khảo thông tin từ VnExpress,Nguồn đề: link ).

gth

Độ dài các cạnh được ghi trên hình vẽ.

Gọi $S_1$ là diện tích hình quạt tròn $OFG$ của hình tròn tâm $O$.

$S_2$ là diện tích hình quạt tròn $DFG$ của hình tròn tâm $D$.

Diện tích hình quạt tròn cho bởi công thức $$S_{\text{quạt}}=\dfrac12R^2\theta$$

trong đó $\theta$ là góc xòe của cái quạt.

$S_3$ là diện tích tam giác $DOG$.

Diện tích cần tìm bằng $S=2(S_1-(S_2-2S_3))$.

$S_3$ được tính bằng công thức Hê-rông

tq1

tq2

$\sin \widehat{ODG}=\dfrac{2S_{ODG}}{DO.DG}=\dfrac{\sqrt{14}}{8} \Rightarrow \cos \widehat{FDG}=1-2\sin^2\widehat{ODG}=$ tq8Trong tam giác $DFG$ ta có $FG^2=DG^2+DF^2-2.DF.DG.\cos \widehat{ODG}=$tq3

Suy ra $\cos \widehat{FOG}=\dfrac{OG^2+OF^2-FG^2}{2.OG.OF}=$ tq4

Vậy: $$S=2\left[\dfrac{25}{2}\arccos\left(-\dfrac34\right)-\left(50\arccos\dfrac{9}{16}-\dfrac{25\sqrt7}{2}\right)\right]$$

tq5

Tóm lại

$S=25\arccos\left(-\dfrac34\right)-100\arccos\dfrac{9}{16}+25\sqrt7$ 

 

$\approx$tq7 1

 

 

KIỂM TRA KẾT QUẢ TÍNH

 

1. Bằng Geogebra

 

tqm

 

 

2. Bằng Máy tính cầm tay

 

tq2a tq2btq2c  tq2d

 

 

3. Bằng phép tính tích phân (dành cho học sinh lớp 12)

 

Chọn hệ trục tọa độ thích hợp (trục hoành và trục tung là hai đường chéo hình vuông), ta có phương trình của hai đường tròn là
$$x^2+y^2=25 \Leftrightarrow y=\pm \sqrt{25-x^2}$$

$$x^2+(y+5\sqrt2)^2=100\Leftrightarrow y=-5\sqrt2\pm \sqrt{100-x^2}$$

Khi đó diện tích cần tìm $$S=4\int_0^{\dfrac{5\sqrt{14}}{4}}\left[\sqrt{25-x^2}+5\sqrt2-\sqrt{100-x^2}\right]dx$$

Ta có công thức nguyên hàm
$$\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\dfrac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\dfrac{a^2}{2}\arcsin\dfrac{x}{a}+C$$

Vậy $$S=\left[2x\sqrt{25-x^2}+50\arcsin\dfrac{x}{5}+20\sqrt2x-2x\sqrt{100-x^2}-200\arcsin\dfrac{x}{10}\right]_0^{\dfrac{5\sqrt{14}}{4}}$$

Nhận xét $\Big[2x\sqrt{25-x^2}+20\sqrt2x-2x\sqrt{100-x^2}\Big]_0^{\dfrac{5\sqrt{14}}{4}}$

tpm1a 1

  • $2\arcsin x=\arccos(1-2x^2)\Rightarrow 2\arcsin\dfrac{\sqrt{14}}{4}=\arccos\left(-\dfrac34\right)$ và $2\arcsin\dfrac{\sqrt{14}}{8}=\arccos\dfrac{9}{16}$

 

Tóm lại

$$S=25\sqrt7+25\arccos\left(-\dfrac34\right)-100\arccos\dfrac{9}{16}$$

 

Nhận xét: Tính $S$ bằng tích phân phức tạp hơn nhiều so với phép tính bằng hệ thức lượng trong tam giác. Đây chỉ là một kênh để kiểm tra đáp số.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

1 1617631853642

Câu 47 (mã đề 101), chứng minh phương trình vô nghiệm khi $\mathbf{y \geqslant 10}$.

Câu 47 (mã đề 101) hỏi có bao nhiêu số nguyên $y>-3$ sao cho phương …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết