Bài toán phương trình vô tỉ trong đề chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}+\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}=2x^{2}+2x+2[/latex]

Bài giải: Điều kiện [latex]3x^{3}+2x^{2}+2,-3x^{3}+x^{2}+2x-1\geqslant 0[/latex]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

[latex]\sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}=\sqrt{1\left ( 3x^{3}+2x^{2}+2 \right )}\leqslant \frac{3x^{3}+2x^{2}+3}{2}[/latex]

Tương tự, ta cũng có

[latex]\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}\leqslant \frac{-3x^{3}+x^{2}+2x}{2}[/latex]

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên suy ra

[latex]2x^{2}+2x+2\leq \frac{3x^{2}+2x+3}{2}\Leftrightarrow \left ( x+1 \right )^{2}\leqslant 0[/latex] (*)

Dễ thấy rằng [latex]\left ( x+1 \right )^{2}\geqslant 0[/latex] nên bất đẳng thức (*) phải xảy ra dấu bằng tương đương với [latex]x=-1[/latex]

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là [latex]x=-1[/latex]

Chia sẻ

BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay