Bài toán phương trình vô tỉ trong đề chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}+\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}=2x^{2}+2x+2[/latex]

 

Bài giải: Điều kiện [latex]3x^{3}+2x^{2}+2,-3x^{3}+x^{2}+2x-1\geqslant 0[/latex]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

[latex]\sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}=\sqrt{1\left ( 3x^{3}+2x^{2}+2 \right )}\leqslant \frac{3x^{3}+2x^{2}+3}{2}[/latex]

Tương tự, ta cũng có

[latex]\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}\leqslant \frac{-3x^{3}+x^{2}+2x}{2}[/latex]

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên suy ra

[latex]2x^{2}+2x+2\leq \frac{3x^{2}+2x+3}{2}\Leftrightarrow \left ( x+1 \right )^{2}\leqslant 0[/latex] (*)

Dễ thấy rằng [latex]\left ( x+1 \right )^{2}\geqslant 0[/latex] nên bất đẳng thức (*) phải xảy ra dấu bằng tương đương với [latex]x=-1[/latex]

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là [latex]x=-1[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

XÁC ĐỊNH NHANH TOẠ ĐỘ ĐỈNH, PHƯƠNG TRÌNH TRỤC ĐỐI XỨNG PARABOL

Trong bài viết này, Diễn đàn Toán Casio sẽ trình bày cách sử dụng máy tính Casio fx- 580VNX để xác định nhanh tọa độ đỉnh và phương trình trục đối xứng Parabol thông qua 1 ví dụ minh họa.

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết