Bài toán phương trình vô tỉ trong đề chọn đội tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội

Đề bài: Giải phương trình sau trên tập số thực:

[latex]\sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}+\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}=2x^{2}+2x+2[/latex]

 

Bài giải: Điều kiện [latex]3x^{3}+2x^{2}+2,-3x^{3}+x^{2}+2x-1\geqslant 0[/latex]

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

[latex]\sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}=\sqrt{1\left ( 3x^{3}+2x^{2}+2 \right )}\leqslant \frac{3x^{3}+2x^{2}+3}{2}[/latex]

Tương tự, ta cũng có

[latex]\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}\leqslant \frac{-3x^{3}+x^{2}+2x}{2}[/latex]

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên suy ra

[latex]2x^{2}+2x+2\leq \frac{3x^{2}+2x+3}{2}\Leftrightarrow \left ( x+1 \right )^{2}\leqslant 0[/latex] (*)

Dễ thấy rằng [latex]\left ( x+1 \right )^{2}\geqslant 0[/latex] nên bất đẳng thức (*) phải xảy ra dấu bằng tương đương với [latex]x=-1[/latex]

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là [latex]x=-1[/latex] 

Chia sẻ

About casiobitex

Casiobitex

Bài Viết Tương Tự

SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

Tiếp nối các bài viết trong Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác, bài …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết