Sử dụng số phức giải toán hình học phẳng

1. Nêu bài toán

 

Trong mặt phẳng cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, trung tuyến $AO$. Gọi $I$ là trung điểm $AH$. Đường thẳng vuông góc với $AO$ tại $A$ cắt $CI$ tại $E$. Chứng minh $EB$ vuông góc $BC$.

sp

Chúng tôi không cho rằng bài toán này là dễ. Vì vậy chúng tôi gợi ý phương pháp dùng số phức.
PS. Loạt bài về việc sử dụng số phức để giải các bài toán Hình học phẳng là một gợi ý cho các GV trẻ thực hiện các dự án nghiên cứu của mình nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi. Các giáo viên trung học ở Đài Loan họ sử dụng nội dung này để bồi dưỡng học sinh dự thi IMO.

2. Các kiến thức chuẩn bị.

 

Mệnh đề 1:

Cho hai số phức $b$ và $c$ cùng có mô-đun bằng 1 lần lượt có điểm biểu diễn là $B$ và $C$. $z$ là một số phức tuỳ ý có điểm biểu diễn là $Z$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $Z$ trên $BC$. Khi đó $H$ là điểm biễu diễn của số phức $w=\dfrac12(z+b+c-bc\overline{z}).$

 

Chứng minh.

Trong bài Sử dụng số phức chứng minh tứ giác nội tiếp chúng tôi đã chứng minh điểm $U$ đối xứng của $Z$ qua $BC$ là điểm biểu diễn của số phức $u=b+c-bc\overline{z}$

Khi đó $H$ là trung điểm của $ZU$ nên $H$ là điểm biểu diễn của số phức $\dfrac{z+u}{2}=\dfrac{z+b+c-bc\overline{z}}{2}$.

 

Mệnh đề 2:

Cho hai số phức $b$ và $c$ cùng có mô-đun bằng 1 lần lượt có điểm biểu diễn là $B$ và $C$. Trên đường tròn đơn vị gọi $T$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $B$ và tại $C$ thì $T$ là điểm biểu diễn của số phức $t=\dfrac{2}{\overline{b}+\overline{c}}=\dfrac{2bc}{b+c}$.

 

Chứng minh.

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $H$ là điểm biểu diễn của số phức $h=\dfrac{b+c}{2}$. Chứng minh $O, H, T$ thẳng hàng và $OH.OT=1$ nghĩa là $TA\perp OA$ và t $TB\perp OB$.

Xét số phức $\dfrac{h}{t}=\dfrac{b+c}{2}\times \dfrac{\overline{b}+\overline{c}}{2}=\dfrac{b\overline{b}+c\overline{c}+(b\overline{c}+c\overline{b})}{4}=\dfrac{2+(b\overline{c}+c\overline{b})}{4}$. Ta thấy $b\overline{c}+c\overline{b}$ là số thực (vì nó bằng liên hợp của nó). Do đó $\dfrac{h}{t}$ là số thực, nghĩa là $\arg\dfrac{h}{t}=0 \Rightarrow \widehat{\overrightarrow{OT},\overrightarrow{OH}}=0$. Vậy ba điểm $O, T, H$ thẳng hàng.
$OH.OT=|h||t|=\left|\dfrac{b+c}{2}\times \dfrac{2bc}{b+c}\right|=|bc|=|b||c|=1$. (đpcm)

 

Mệnh đề 3:

Cho bốn điểm $A, B, C, D$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức $a, b, c$ và $d$. Gọi $M$ là giao điểm của $AB$ và $CD$.Khi đó $M$ là điểm biểu diễn của số phức $$m=\dfrac{(\overline{a}b − a\overline{b})(c − d) − (a − b)(\overline{c}d − c\overline{d})}{(\overline{a} − \overline{b})(c − d) − (a − b)(\overline{c} −\overline{d})}.$$

 

Chứng minh.
Để tránh bị rối, tạm thời chúng tôi chưa chứng minh mệnh đề này. Ta chấp nhận để giải toán.

 

Bây giờ chúng ta giải bài toán đã nêu:

 

Trong mặt phẳng cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, trung tuyến $AO$. Gọi $I$ là trung điểm $AH$. Đường thẳng vuông góc với $AO$ tại $A$ cắt $CI$ tại $E$. Chứng minh $EB$ vuông góc $BC$.

 

Chọn đơn vị thích hợp ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là đường tròn đơn vị nhận tâm $O$ làm gốc toạ độ và không làm mất tính tổng quát ta chọn $BC$ nằm trên trục hoành.

Khi đó $b$ và $c$ là số thực có giá trị tuyệt đối bằng 1. Nói cách khác $b=-1, c=1$.

Điểm $H$ là điểm biểu diễn của số phức $h=\dfrac12(a+b+c-bc\overline{a})=\dfrac{a+\overline{a}}{2}=\dfrac{a^2+1}{2a}$. Ta thấy $\overline{h}=h$.
(lưu ý $a$ là số phức có mô-đun bằng 1.)

Vì $I$ là trung điểm $AH$ nên $I$ là điểm biểu diễn của số phức $\dfrac{a+h}{2}=\dfrac{3a+\overline{a}}{4}=\dfrac{3a^2+1}{4a}$.

Gọi $E’$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $A$ và tiếp tuyến tại $B$. Khi đó $E’$ là điểm biểu diễn của số phức $z=\dfrac{2}{\overline{a}+\overline{b}}=\dfrac{2}{\overline{a}-1}=\dfrac{2a}{1-a}$ (mệnh đề 2). Suy ra $\overline{z}=\dfrac{2}{a-1}$

Gọi $I’$ là giao điểm của $CE’$ và $AH$. Theo mệnh đề 3, $I’$ là điểm biểu diễn của số phức $$j=\dfrac{(\overline{c}z-c\overline{z})(a-h)-(c-z)(\overline{a}h-a\overline{h})}{(\overline{c}-\overline{z})(a-h)-(c-z)(\overline{a}-\overline{h})}=
\dfrac{(z-\overline{z})(a-h)-(1-z)(\overline{a}h-ah)}{(1-\overline{z})(a-h)-(1-z)(\overline{a}-h)}$$

Ta tính được $\overline{a}-h=-(a-h)$ và $\overline{a}-a=-2(a-h)$ nên ta thu gọn được:
$$j=\dfrac{z-\overline{z}+2h(1-z)}{2-(z+\overline{z})}$$

Ta tính thêm $z+\overline{z}=-2, z-\overline{z}=\dfrac{-2(a+1)}{a-1}, 1-z=\dfrac{3a-1}{a-1}$.

Khi đó $$j=\dfrac{-2a(a+1)+(a^2+1)(3a-1)}{4a(a-1)}=\dfrac{3a^2+1}{4a}$$

Suy ra $I’\equiv I \Rightarrow E’=E$. Do đó $EB$ là tiếp tuyến tại $B$, suy ra đpcm.

Bài toán tương tự dành cho bạn đọc.

Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn này tiếp xúc với CA, AB lần lượt tại E và F. Điểm đối xứng E và F qua I lần lượt là G, H. Gọi Q là giao điểm của GH và BC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng IQ và IM vuông góc với nhau.

 

Hướng dẫn: Để chứng minh $IQ\perp IM$ ta chứng minh số phức $\dfrac{m-j}{q-j}$ là số thuần ảo.

Ở đây ký hiệu $j$ số phức có điểm biểu diễn là $I$ nhằm tránh nhầm lẫn với số đơn vị ảo.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

0470641843

Áp dụng của bài toán trả nợ dần – đề thi thử chuyên Vinh 2019

Ví dụ: Đề thi thử THPTQG 2019 Chuyên ĐH Vinh (lần 2). Sau khi tốt …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết