Tính tổng $\displaystyle \sum_{x=1}^{i}\dfrac{1}{ax^2+bx+c}, (i=100, 1000)$ và viết kết quả dưới dạng phân số.

Trong bài này ta chỉ xét $a=1$ và mẫu số phân tích ra thừa số $(x+m)(x+n)$. Trường hợp tổng quát khá phức tạp, dùng máy tính cầm tay sẽ không phát huy được tác dụng.

 

Trưởng hợp 1: $|m-n|=1$

 

 

Máy tính xuất ra kết quả là phân số tối giản.
 

Ví dụ 1. cn1a $(x^2+29x+210=(x+14)(x+15))$.
 

Ví dụ 2. cn1b $(x^2+11x+30=(x+5)(x+6))$.
 

Trưởng hợp 2: $|m-n|=2$

 

 

Máy tính xuất ra số thập phân, ta chuyển kết quả ra phân số tối giản.
 

Ví dụ 3. cn1cc lưu vào A.
 

$x^2+12x+35=(x+5)(x+7)$, $|m-n|=2$, thay $x=1, x=2$ vào $x+5$ và thay $x=99, x=100$ vào $x+7$ để tìm mẫu số của tổng.
 

Mẫu số sẽ bằng: cn3b
 

Tử số sẽ bằng: cn3bb
 

Kiểm tra phân số tổi giản chưa: cn1dd
 

Vậy $$\displaystyle\sum_{x=1}^{100}\dfrac{1}{x^2+12x+35}=\dfrac{34625}{238182}. $$
 

Ví dụ 4. cn3d lưu vào A.
 

Mẫu số sẽ bằng: cn3c lưu vào B.
 
Tử số bằng: cn3e
 
Kiểm tra phân số tối giản chưa: cn3f
 

Do đó đơn giản tử và mẫu cho $2$ ta có: $$\sum_{x=1}^{1000}\dfrac{1}{x^2+12x+35}=\dfrac{1635625}{10636941}. $$

 

Bài tập tự luyện.
 

1) Tính tổng $\displaystyle \sum_{x=1}^{100}\dfrac{1}{x^2+4x+3}$. h1
 

2) Tính tổng $\displaystyle \sum_{x=1}^{1000}\dfrac{1}{x^2+4x+3}$.
 
cn1g
 

Vậy $$\sum_{x=1}^{1000}\dfrac{1}{x^2+4x+3}=\dfrac{69625}{167501}$$

 

Trưởng hợp 3: $|m-n|\geqslant 3$

 

 

Ví dụ 5. Tính tổng $\displaystyle \sum_{x=1}^{1000}\dfrac{1}{x^2+11x+28}$ ở đây $|m-n|=3$.
 

Có ngay cn1h
 

cn2a lưu vào A.
 
Ta chuyển số thập phân này sang phân số. Mẫu số sẽ là BCNN của các số $5, 6, 7, 1005, 1006, 1007$ chia cho $|m-n|=3$ (lấy 3 mẫu số đầu tiên và ba mẫu số cuối cùng)
 

cn2b.
 

Khi đó tử số sẽ bằng cn2c
 
Đơn giản tử và mẫu cho $10$ và nhận xét cn2d.
 

Vậy
$$\displaystyle \sum_{x=1}^{1000}\dfrac{1}{x^2+11x+28}=\dfrac{40111070}{237558349}$$
 

Bây giờ ta xét lại bài toán (đã tính sai trước đây) Tính tổng $$T=\displaystyle \sum_{x=1}^{100}\dfrac{1}{x^2+9x+8}$$

Ở đây $x^2+9x+8=(x+1)(x+8), \quad |m-n|=7$.
 
(lưu ý bài toán này chỉ dành cho GV phụ trách đội tuyển không dạy cho HS vì quá phức tạp đối với các em).

 

cn4a lưu vào A.
 

Mẫu số của T là BCNN của $108,107,106,105,104,103,102,2,3,4,5,6,7,8$.
 
Ta tìm BCNN của $108,107,106,105,104,102$ (không lấy $103$)
 
cn4b 1 lưu vào B.
 
Ta thấy B chia hết cho $2,3,4,5,6,7,8$ nên B cũng là BCNN của $108,107,106,105,104,102, 2,3,4,5,6,7,8$.
 

Vậy mẫu số của T là $9474879960 \times 103=$ cn4d,
 
do đó tử số của T là $975912635880\times 103$ cn4e.
 

Vậy $T=\dfrac{230199147160}{975912635880}$, phân số này chưa tối giản vì tử và mẫu đều chia hết cho $40$.
 

cn4f 1
 
Vậy $$T=\dfrac{5754978679}{24397815897}$$

 

Đối chiếu với Geogebra

cn4g 1

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).

Bài Viết Tương Tự

Hệ thức lượng trong tam giác

  GIẢI Ta có: $AB^2+AC^2=2AM^2+\dfrac{BC^2}{2}$ lưu vào A.   $BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC\cos \widehat{BAC}$ $⇔ AB.AC=\dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cos 30^\circ} $ …