Phím ÷R hỗ trợ giải bài toán Đồng dư thức

Phím ÷R hỗ trợ giải bài toán Đồng dư thức

Đề bài: Tìm ba chữ số cuối cùng của bài toán sau:

[latex]A=1^2+2^2+3^2+\,…\,+\left(2012^{2014}\right)^2[/latex] (Trích từ Facebook Diễn đàn Giải toán nhanh)
Bài giải

Áp dụng công thức quy nạp, ta được:

Tìm ba chữ số cuối của [latex]A[/latex]. Ta tìm đồng dư của [latex]A[/latex] theo modulo 1000.÷÷
Nhắc lại công thức:

png

Ta biến đổi một chút để “giải quyết” mẫu:

[latex]\begin{array}{cc} & A=\dfrac{2012\times 2012^{2013}\left(2012^{2014}+1\right)\left(2.2012^{2014}+1\right)}{6}\\\\\Leftrightarrow & 3A=1006\times 2012^{2013}\left(2012^{2014}+1\right)\left(2.2012^{2014}+1\right)\end{array}[/latex]

+ Sử dụng công thức nhị thức Newton, tìm đồng dư [latex]2012^{2013}[/latex] theo modulo 1000 (Phím ÷R hỗ trợ tìm dư một cách dễ dàng):

[latex]\begin{array}{cccc}2012^{2013} & \equiv & 12^{2013} & (\text{mod}\,1000)\\ & \equiv & 352^{223}\times 12^{6} & (\text{mod}\,1000)\\ & \equiv & 208^{74}\times 368 & (\text{mod}\,1000)\\ & \equiv & 696^{18}\times 152 & (\text{mod}\,1000)\\ & \equiv & 536^{6}\times 152 & (\text{mod}\,1000)\\ & \equiv & 72 & (\text{mod}\,1000)\end{array}[/latex]

Ta được:

[latex]\begin{array}{c}3A\equiv 1006\times 72\times 865\times 729\,\,(\text{mod}\,1000)\\ \Leftrightarrow 3A \equiv 720\,(\text{mod}\,1000)\\\Leftrightarrow A\equiv 240\,(\text{mod}\,1000)\end{array}[/latex]

 

Chia sẻ

About Admin Casio

Admin Casio

Bài Viết Tương Tự

0470641843

Giải bài toán Niên Kim trên máy tính Casio Fx580VNX

Bài toán niên kim gần như là bài toán ngược của bài toán trả nợ …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết