BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và cung tròn
- 04/03/2025
- 177 lượt xem
| Đặt vấn đề. Gần đây có một xu thế mới là tìm hiểu những bài toán hình học phẳng về diện tích của hình giới hạn bởi các đường thẳng và các hình quạt tròn . Tùy theo hình dạng cụ thể mà ta tìm diện tích. Học sinh đội tuyển được các GV phụ trách rèn luyện thông qua một số bài toán thuộc dạng này. Sau đây là một ví dụ |
 |
Ta quan sát hình vuông lớn nhất cạnh $1$ cm, đường tròn nội tiếp có bán kính bằng $\dfrac12$ cạnh hình vuông (ngoại tiếp) tức là $\dfrac12$ cm. Vậy diện tích của phần tô màu đầu tiên là: $$S_1=1^2-\left(\dfrac12\right)^2\pi$$
Hình vuông thứ hai nội tiếp đường tròn thứ nhất nên có cạnh bằng đường kính của đường tròn thứ nhất chia cho $\sqrt2$ và đường tròn nội tiếp của nó có bán kính bằng một nửa cạnh. Vậy diện tích của phần tô màu thứ nhì bằng $$S_2=\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2\sqrt2}\right)^2\pi$$
Hình vuông thứ ba nội tiếp đường tròn thứ hai nên có cạnh bằng đường kính của đường tròn thứ hai chia cho $\sqrt2$ và đường tròn nội tiếp của nó có bán kính bằng một nửa cạnh. Vậy diện tích của phần tô màu thứ ba bằng $$S_3=\left(\dfrac{1}{(\sqrt2)^2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2(\sqrt2)^2}\right)^2\pi$$
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hình vuông thứ $n$ nội tiếp đường tròn thứ $n-1$ nên có cạnh bằng đường kính của đường tròn thứ $n-1$ chia cho $\sqrt2$ và đường tròn nội tiếp của nó có bán kính bằng một nửa cạnh. Vậy diện tích của phần tô màu thứ $n$ bằng $$S_n=\left(\dfrac{1}{(\sqrt2)^{n-1}}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2(\sqrt2)^{n-1}}\right)^2\pi =\left(\dfrac12\right)^{n-1}\left(1-\dfrac{\pi}{4}\right)$$
Về phương diện máy tính cầm tay ta tính:
nên ta dự đoán $S_{2023} \approx 0,4292036732$.
Về phương diện toán học, ta thấy dãy số $(S_n)$ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn, số hạn đầu tiên là $S_1=1-\dfrac{\pi}{4}$, công bội $q=\dfrac12$. Do đó:
About TS. Nguyễn Thái Sơn
