Bài giải hoàn chỉnh của bài thi HS giải toán trên máy tính Casio năm 2019 / TP HCM

Để giúp các em học sinh 12 tham dự kỳ thi 

HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN
TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2019 – 2020

và các thầy cô phụ trách đội tuyển có thêm tài liệu ôn tập và luyện thi, chúng tôi giải toàn bộ 9 bài toán của kỳ thi năm 2019. Trước hết các em và các thầy cô cần có đề thi này và đáp án của kỳ thi này.

dapancasio_2019thptnew_31120199

(sau khi tính đạo hàm của hàm số tại $x=-1$ ta lưu kết quả vào A)

Viết lại cho đúng:

Tìm dư khi chia $(2+\sqrt3)^{27}+(2-\sqrt3)^{27}$ cho 2019.

Ta tính $(2+\sqrt3)^{14}+(2-\sqrt3)^{14}$  lưu vào A

$(2+\sqrt3)^{13}+(2-\sqrt3)^{13}$  lưu vào B

Ta biết rằng $$\left[(2+\sqrt3)^{14}+(2-\sqrt3)^{14}\right]. \left[(2+\sqrt3)^{13}+(2-\sqrt3)^{13}\right] =(2+\sqrt3)^{27}+(2-\sqrt3)^{27} +4$$

Do đó $(2+\sqrt3)^{27}+(2-\sqrt3)^{27}=AB-4$

Để tìm dư của phép chia $(2+\sqrt3)^{27}+(2-\sqrt3)^{27}$ cho 2019, ta chỉ cần lấy 119 nhân 559 trừ 4, lấy kết quả  chia có dư cho 2019 sẽ ra kết quả cần tìm là

Lấy $M(x,2x^2-4x+3) \in (P_1)$ và $N(x’,-x’^2+10x’-25) \in (P_2)$.

Ta có nhận xét khi $MN$ ngắn nhất thì tiếp tuyến tại $M$ sẽ song song với tiếp tuyến tại $N$. Khi đó: $2x-4=-2x’+10 \Leftrightarrow x’=7-x$.

Khoảng cách $MN$ bằng $f(x)=\sqrt{(x’-x)^2+(-x’^2+10x’-25-x^2+4x-3)^2}$

Thu gọn $f(x)=\sqrt{(7-2x)^2+(-2x^2+8x-7)^2}$

$f(x)=\sqrt{4x^4-32x^3+96x^2-140x+98}$

Đặt $g(x)=4x^4-32x^3+96x^2-140x+98$, giải phương trình $g’=0$ ta có 1 nghiệm thực

duy nhất

          lưu vào A.  giá trị cực trị cũng chính là GTNN     

1. Cài đặt bảng một hàm số để tận dụng 45 giá trị thuộc tập xác định.
2. Vì $-10 \leqslant  10\cos (10x) \leqslant  10$ nên $-10 \leqslant  x \leqslant  10$
   Trước hết ta tìm số nghiệm của phương trình. 
   Ta tìm số nghiệm dương, tức tìm số lần đổi dấu của hàm số $f(x)=10\cos(x)-x$

   

   

Ta nhận thấy phương trình có 3 nghiệm dương.

Tương tự ta có 4 nghiệm âm.

Tổng cộng phương trình có 7 nghiệm, ta tìm bảy nghiệm đó.

lưu vào A.

lưu vào B. lưu vào C.

Ta tìm các nghiệm âm

lưu vào D. lưu vào E Lưu vào F lưu vào M.

Vậy tổng của tất cả các nghiệm là  

Ta có nhận xét

$[\sqrt1]=[\sqrt2]=[\sqrt3]=1$ có 3 số 

$[\sqrt4]=[\sqrt5]=[\sqrt6]=[\sqrt7]=[\sqrt8]=2$  có 5 số 

$[\sqrt9]=[\sqrt{10}]=[\sqrt{11}]=[\sqrt{12}]=[\sqrt{13}]=[\sqrt{14}]=[\sqrt{15}]=3$ có 7 số.

Qui nạp theo $n$, ta có $2n+1$ số tự nhiên (từ $n^2$ đến $(n+1)^2-1$) mà phần nguyên của căn bậc hai của các số đó bằng nhau và bằng $n$. 

Có 3 số từ 1 đến 3 mà phần nguyên của căn bậc hai của các số đó bằng nhau và bằng $1$.

…………………………………………………………………………………………………..

Có 89 số từ 1936 đến 2024 mà phần nguyên của căn bậc hai của các số đó bằng nhau và bằng $44$.

Tóm lại $\displaystyle \sum_{i=2}^{2019}[\sqrt{i}]=\sum_{n=1}^{44}n(2n+1)-1-44\times 5$

Vậy $A=-42946187983$

Đa thức bậc ba $ax^3+bx^2+cx+d$ chia cho nhị thức $x^2+\alpha$  thì dư sẽ là $(c-a\alpha)x+d-b\alpha$.

Đa thức bậc ba $ax^3+bx^2+cx+d$ chia cho nhị thức $x^2+x$  thì dư sẽ là $(a-b+c)x+d$.

Theo đề vài ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{llr}
c-2a&=&2\\
d-2b&=&-1\\
a-b+c&=&16\\
d&=&-11
\end{array}
\right.$$

Bấm máy tính giải hệ 4 phương trình tuyến tính 

ta có $a=3, b=-5,c=8,d=-11$ laàn lượt lưu vào A, B, C, D

Sau đó ta tính giá trị của đa thức khi $x=2019$

ĐS: $24670152913$

Câu 1: Ta có

$\dfrac{AI}{AN}=\dfrac{m}{m+n-mn}$, trong bài này :

$\dfrac{BI}{BM}=\dfrac{n}{m+n-mn}$, trong bài này:

$AN^2=BA^2+BN^2-2.BA.BN.\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2.BA.BC}$

lưu vào A.

$AI^2=$

Suy ra $SA=$$\approx 7,38$

$BA^2+BC^2=2BM^2+\dfrac{AC^2}{2}$ suy ra $BM^2=\dfrac{2BA^2+2BC^2-AC^2}{4}$  lưu vào C.

$BI^2=$

$SB=$$\approx 7,25$

$IC^2=BI^2+BC^2-2BI.BC.\dfrac{BM^2+BC^2-MC^2}{2BM.BC}=$ lưu vào E
. 

$SC=$ $\approx 7,89$

Câu 2: Tính thể tích khối tứ diện SABC suy ra $BK=d(B,(SAC))=\dfrac{3V_{SABC}}{S_{SAC}}$

1. Nhập 6 cạnh của khối tứ diện vào máy tính theo từng cặp cạnh đối diện
   
2. Tính tổng bình phương của 6 cạnh (làm trung gian):

   

3. Thực hiện các phép tính trung gian sau:

   

4. Thể tích khối chóp $SABCD$
   Sử dụng công thức Hê-rông tìm diện tích tam giác $SAC$.
   

   Vậy $BK=$ $\approx 3,32$

Câu 3: Bán kính mặt cầu ngoai tiếp khối tứ diện cho bởi công thức 

$$R=\dfrac{S}{6V}$$

Thực hiện các phép tính trung gian:

Suy ra $S=$

Và do đó $R=$ $\approx 4,07$

Các số hạng của dãy số được bố trí như sau:

A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B …

như vậy $x_3$ được gán vào A, $x_4$ được gán vào B, $x_5$ được gán vào A , $x_6$ được gán  vào B v.v…

Ta xây dựng thuật toán như sau:

$x=x+1:A=B-xA+2x^2:x=x+1:B=A-xB+2x^2$

Sau đó bấm phím CALC, máy tính hỏi x ta nhập số 2, máy tính hỏi A ta nhập $x_1=1$, máy tính hỏi B, ta nhập $x_2=1$.

Sau đó nhấn = cho đến khi thấy $x=18$ thì dừng lại, rồi nhấn tiếp sẽ được $x_{18}$, nhấn = thấy $x=19$, nhấn tiếp ta được $x_{19}$.

$x_{21}$ bị tràn số, ta xử lý như sau

Bấm AC, , kết quả $x_{21}=56900510002$

Để tiếp tục, ta bấm mũi tên lên hai lần, 

Bấm CALC, chấp nhận $A$ 

bấm mũi tên xuống nhập mới $x=22$

chấp nhận $B$

kết quả là

$x_{22}=22433062718$

Các số tiếp theo thao tác tương tự.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.