Bài giải hoàn chỉnh của bài thi HS giải toán trên máy tính Casio năm 2019 / TP HCM

Để giúp các em học sinh 12 tham dự kỳ thi 

HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN
TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2019 – 2020

và các thầy cô phụ trách đội tuyển có thêm tài liệu ôn tập và luyện thi, chúng tôi giải toàn bộ 9 bài toán của kỳ thi năm 2019. Trước hết các em và các thầy cô cần có đề thi này và đáp án của kỳ thi này.

dapancasio_2019thptnew_31120199

p1a

p1

hinh1a hinh1b hinh1c

(sau khi tính đạo hàm của hàm số tại $x=-1$ ta lưu kết quả vào A)

p2

Viết lại cho đúng:

Tìm dư khi chia $(2+\sqrt3)^{27}+(2-\sqrt3)^{27}$ cho 2019.

Ta tính $(2+\sqrt3)^{14}+(2-\sqrt3)^{14}$  lưu vào A

$(2+\sqrt3)^{13}+(2-\sqrt3)^{13}$  lưu vào B

Ta biết rằng $$\left[(2+\sqrt3)^{14}+(2-\sqrt3)^{14}\right]. \left[(2+\sqrt3)^{13}+(2-\sqrt3)^{13}\right] =(2+\sqrt3)^{27}+(2-\sqrt3)^{27} +4$$

Do đó $(2+\sqrt3)^{27}+(2-\sqrt3)^{27}=AB-4$

Để tìm dư của phép chia $(2+\sqrt3)^{27}+(2-\sqrt3)^{27}$ cho 2019, ta chỉ cần lấy 119 nhân 559 trừ 4, lấy kết quả  chia có dư cho 2019 sẽ ra kết quả cần tìm là

bai3

Lấy $M(x,2x^2-4x+3) \in (P_1)$ và $N(x’,-x’^2+10x’-25) \in (P_2)$.

Ta có nhận xét khi $MN$ ngắn nhất thì tiếp tuyến tại $M$ sẽ song song với tiếp tuyến tại $N$. Khi đó: $2x-4=-2x’+10 \Leftrightarrow x’=7-x$.

Khoảng cách $MN$ bằng $f(x)=\sqrt{(x’-x)^2+(-x’^2+10x’-25-x^2+4x-3)^2}$

Thu gọn $f(x)=\sqrt{(7-2x)^2+(-2x^2+8x-7)^2}$

$f(x)=\sqrt{4x^4-32x^3+96x^2-140x+98}$

Đặt $g(x)=4x^4-32x^3+96x^2-140x+98$, giải phương trình $g’=0$ ta có 1 nghiệm thực

duy nhất

  cc7a      cc7b  lưu vào A.cc7c  giá trị cực trị cũng chính là GTNN    cc7d 

bs

  1. Cài đặt bảng một hàm số để tận dụng 45 giá trị thuộc tập xác định.
  2. Vì $-10 \leqslant  10\cos (10x) \leqslant  10$ nên $-10 \leqslant  x \leqslant  10$
    Trước hết ta tìm số nghiệm của phương trình. 
    Ta tìm số nghiệm dương, tức tìm số lần đổi dấu của hàm số $f(x)=10\cos(x)-x$

    cc1a cc1b

    cc1c cc1d cc1e

Ta nhận thấy phương trình có 3 nghiệm dương.

Tương tự ta có 4 nghiệm âm.

cc1f cc1g cc1h cc1i

Tổng cộng phương trình có 7 nghiệm, ta tìm bảy nghiệm đó.

cc2b cc3a lưu vào A.

cc3c cc3d lưu vào B.cc3e cc3f lưu vào C.

Ta tìm các nghiệm âm

cc4a cc4b lưu vào D.cc4c cc4d lưu vào Ecc4e cc4f Lưu vào Fcc4g cc4hlưu vào M.

Vậy tổng của tất cả các nghiệm là cc4i 

bai5

Ta có nhận xét

$[\sqrt1]=[\sqrt2]=[\sqrt3]=1$ có 3 số 

$[\sqrt4]=[\sqrt5]=[\sqrt6]=[\sqrt7]=[\sqrt8]=2$  có 5 số 

$[\sqrt9]=[\sqrt{10}]=[\sqrt{11}]=[\sqrt{12}]=[\sqrt{13}]=[\sqrt{14}]=[\sqrt{15}]=3$ có 7 số.

Qui nạp theo $n$, ta có $2n+1$ số tự nhiên (từ $n^2$ đến $(n+1)^2-1$) mà phần nguyên của căn bậc hai của các số đó bằng nhau và bằng $n$. 

Có 3 số từ 1 đến 3 mà phần nguyên của căn bậc hai của các số đó bằng nhau và bằng $1$.

…………………………………………………………………………………………………..

89 số từ 1936 đến 2024 mà phần nguyên của căn bậc hai của các số đó bằng nhau và bằng $44$.

Tóm lại $\displaystyle \sum_{i=2}^{2019}[\sqrt{i}]=\sum_{n=1}^{44}n(2n+1)-1-44\times 5$

b1 2

b2a

q1  q2

Vậy $A=-42946187983$

Đa thức bậc ba $ax^3+bx^2+cx+d$ chia cho nhị thức $x^2+\alpha$  thì dư sẽ là $(c-a\alpha)x+d-b\alpha$.

Đa thức bậc ba $ax^3+bx^2+cx+d$ chia cho nhị thức $x^2+x$  thì dư sẽ là $(a-b+c)x+d$.

Theo đề vài ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{llr}
c-2a&=&2\\
d-2b&=&-1\\
a-b+c&=&16\\
d&=&-11
\end{array}
\right.$$

Bấm máy tính giải hệ 4 phương trình tuyến tính 

y1

ta có $a=3, b=-5,c=8,d=-11$ laàn lượt lưu vào A, B, C, D

Sau đó ta tính giá trị của đa thức khi $x=2019$

y2 y3

ĐS: $24670152913$

vh1

vh2

Câu 1: Ta có

$\dfrac{AI}{AN}=\dfrac{m}{m+n-mn}$, trong bài này : vh3a

$\dfrac{BI}{BM}=\dfrac{n}{m+n-mn}$, trong bài này: vh3b

$AN^2=BA^2+BN^2-2.BA.BN.\dfrac{BA^2+BC^2-AC^2}{2.BA.BC}$

vh3c lưu vào A.

$AI^2=$ vh3e

Suy ra $SA=$vh3f$\approx 7,38$

$BA^2+BC^2=2BM^2+\dfrac{AC^2}{2}$ suy ra $BM^2=\dfrac{2BA^2+2BC^2-AC^2}{4}$  vh3g lưu vào C.

$BI^2=$vh3j

$SB=$vh3k$\approx 7,25$

$IC^2=BI^2+BC^2-2BI.BC.\dfrac{BM^2+BC^2-MC^2}{2BM.BC}=$ vh3l lưu vào E

$SC=$ vh3n$\approx 7,89$

Câu 2: Tính thể tích khối tứ diện SABC suy ra $BK=d(B,(SAC))=\dfrac{3V_{SABC}}{S_{SAC}}$

  1. Nhập 6 cạnh của khối tứ diện vào máy tính theo từng cặp cạnh đối diện
    vh4a
  2. Tính tổng bình phương của 6 cạnh (làm trung gian):

    vh4b

  3. Thực hiện các phép tính trung gian sau:

    vh5a vh5b vh5c vh5d

  4. Thể tích khối chóp $SABCD$ vh5e
    Sử dụng công thức Hê-rông tìm diện tích tam giác $SAC$.
    vh5f vh5g

    Vậy $BK=$ vh5h$\approx 3,32$

Câu 3: Bán kính mặt cầu ngoai tiếp khối tứ diện cho bởi công thức 

$$R=\dfrac{S}{6V}$$

Thực hiện các phép tính trung gian:

vh6a vh6b vh6c vh6d

Suy ra $S=$vh6e

Và do đó $R=$ vh6f$\approx 4,07$

6c

Các số hạng của dãy số được bố trí như sau:

A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B …

như vậy $x_3$ được gán vào A, $x_4$ được gán vào B, $x_5$ được gán vào A , $x_6$ được gán  vào B v.v…

Ta xây dựng thuật toán như sau:

$x=x+1:A=B-xA+2x^2:x=x+1:B=A-xB+2x^2$

Sau đó bấm phím CALC, máy tính hỏi x ta nhập số 2, máy tính hỏi A ta nhập $x_1=1$, máy tính hỏi B, ta nhập $x_2=1$.

Sau đó nhấn = cho đến khi thấy $x=18$ thì dừng lại, rồi nhấn tiếp sẽ được $x_{18}$, nhấn = thấy $x=19$, nhấn tiếp ta được $x_{19}$.

6a1 6a2 6a3 6a4 6a5 6a6 6a7 6a8

$x_{21}$ bị tràn số, ta xử lý như sau

Bấm AC, 6e1 , kết quả $x_{21}=56900510002$

Để tiếp tục, ta bấm mũi tên lên hai lần,  6e6

Bấm CALC, chấp nhận $A$  6e7

bấm mũi tên xuống 6e8 nhập mới $x=22$

6e9 chấp nhận $B$

kết quả là 6e10

6e11 $x_{22}=22433062718$

Các số tiếp theo thao tác tương tự.

 

 

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

me2

Một áp dụng của Định lý Mê-nê-la-uýt

Cho tam giác $ABC$. Trên các đoạn $CA$ và $CB$ ta lấy các điểm $D$ …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết