BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Hệ phương trình đề chuyên Sơn La 2016
- 08/11/2017
- 219 lượt xem
Hệ phương trình đề chuyên Sơn La 2016
Đề bài: Giải hệ phương trình:
[latex]\begin{cases} xy(x+1)=x^{3}+y^{2}+x-y\\ 3y\left(2+\sqrt{9x^{2}+3}\right)+(4y+2)\left(\sqrt{1+x+x^{2}}+1\right)=0 \end{cases}[/latex]
Giải
Biến đổi phương trình 1 bằng SOLVE lập bảng hoặc SOLVE cho [latex]y=100[/latex], ta được:
[latex]xy(x+1)=x^{3}+y^{2}+x-y \Leftrightarrow (x-y)(x^2-y-1)=0 \Leftrightarrow x=y \vee y=x^2+1[/latex]
Trường hợp 1: Thế [latex]x=y[/latex] vào phương trình 2, ta được:
[latex]\begin{array}{l} 3x\left( {2 + \sqrt {9{x^2} + 3} } \right) + (4x + 2)\left( {\sqrt {1 + x + {x^2}} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow (2x + 1)\left( {\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 3} + 2} \right) = ( – 3x)\left( {\sqrt {{{\left( { – 3x} \right)}^2} + 3} } \right)\\ \Leftrightarrow f(2x + 1) = f( – 3x) \end{array}[/latex]
Xét hàm số [latex]f(t)=t\left(\sqrt{t^2+3}+2 \right)[/latex] có [latex]f’(t)>0\,\,\,\forall t \in \mathbb{R}[/latex].
Ta được nghiệm [latex](x;\,y)=\left(-\frac{1}{5};-\frac{1}{5}\right)[/latex].
Trường hợp 2: Thế [latex]y=x^2+1[/latex] vào phương trình thứ 2, ta được phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất [latex](x;\,y)=\left(-\frac{1}{5};-\frac{1}{5}\right)[/latex].
About Toán Casio
