Hai cách giải hệ phương trình sở Bắc Giang 2016

Hai cách giải hệ phương trình sở Bắc Giang 2016

Đề bài: Giải hệ phương trình:

[latex]\begin{cases} {x^{3}}-7{y^{3}}+3xy\left({x+y}\right)-24{y^{2}}+3x-27y=14\\ \sqrt{3-x}+\sqrt{y+4}={x^{3}}+{y^{2}}-5 \end{cases}[/latex]

Giải

[latex]\begin{array}{l} {x^3} – 7{y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) – 24{y^2} + 3x – 27y – 14 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} – {\left( {2y + 2} \right)^3} + 3(x + y) – 3(2y + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – y – 2} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + (x + y)(2y + 2) + {{(2y + 2)}^2} + 3} \right] = 0 \end{array}[/latex]

Biến đổi hằng đẳng thức, ta được:  [latex]{\left( {x + y} \right)^2} + (x + y)(2y + 2) + {(2y + 2)^2} + 3 > 0[/latex]

Cách 1: Thế [latex]x=y+2[/latex] vào phương trình còn lại, được:

[latex]\begin{array}{l} \sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} = {x^3} + {x^2} – 4x – 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} – \dfrac{1}{3}\left( {x + 4} \right) + \sqrt {3 – x} – \dfrac{1}{3}\left( { – x + 5} \right) = \left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x – 2} \right)\left[ {\dfrac{1}{{3\sqrt {x + 2} + x + 4}} + \dfrac{1}{{3\sqrt {3 – x} + 5 – x}} + 3(x + 2)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = – 1 \end{array} \right. \end{array}[/latex]

Vậy hệ phương trình có nghiệm [latex](x;y) = (2;0);(x;y) = ( – 1; – 3)[/latex]

Cách 2: 

[latex]\begin{array}{l} \sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} = {x^3} + {x^2} – 4x – 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} – 3 = {x^3} + {x^2} – 4x – 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)} – 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} + 3}} = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 4} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( { – {x^2} + x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} + 3} \right)\left( {\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)} + 2} \right)}} + \left( { – {x^2} + x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( { – {x^2} + x + 2} \right)\left[ {\dfrac{2}{{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} + 3} \right)\left( {\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)} + 2} \right)}} + x + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow x = 2 \vee x = – 1 \end{array}[/latex]

 

Chia sẻ

About Toán Casio

Toán Casio

Bài Viết Tương Tự

Luyện tập tính thể tích của khối tứ diện

Đặt vấn đề. Việc tính thể tích của khối tứ diện trên máy tính cầm …