Hai cách giải hệ phương trình sở Bắc Giang 2016

08/11/2017
270 lượt xem
Toan.Casio

Đề bài: Giải hệ phương trình:

[latex]\begin{cases} {x^{3}}-7{y^{3}}+3xy\left({x+y}\right)-24{y^{2}}+3x-27y=14\\ \sqrt{3-x}+\sqrt{y+4}={x^{3}}+{y^{2}}-5 \end{cases}[/latex]

Giải

[latex]\begin{array}{l} {x^3} – 7{y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) – 24{y^2} + 3x – 27y – 14 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} – {\left( {2y + 2} \right)^3} + 3(x + y) – 3(2y + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – y – 2} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + (x + y)(2y + 2) + {{(2y + 2)}^2} + 3} \right] = 0 \end{array}[/latex]

Biến đổi hằng đẳng thức, ta được: [latex]{\left( {x + y} \right)^2} + (x + y)(2y + 2) + {(2y + 2)^2} + 3 > 0[/latex]

Cách 1: Thế [latex]x=y+2[/latex] vào phương trình còn lại, được:

[latex]\begin{array}{l} \sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} = {x^3} + {x^2} – 4x – 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} – \dfrac{1}{3}\left( {x + 4} \right) + \sqrt {3 – x} – \dfrac{1}{3}\left( { – x + 5} \right) = \left( {{x^2} – x – 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} – x – 2} \right)\left[ {\dfrac{1}{{3\sqrt {x + 2} + x + 4}} + \dfrac{1}{{3\sqrt {3 – x} + 5 – x}} + 3(x + 2)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2\\ x = – 1 \end{array} \right. \end{array}[/latex]

Vậy hệ phương trình có nghiệm [latex](x;y) = (2;0);(x;y) = ( – 1; – 3)[/latex]

Cách 2:

[latex]\begin{array}{l} \sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} = {x^3} + {x^2} – 4x – 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} – 3 = {x^3} + {x^2} – 4x – 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)} – 2} \right)}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} + 3}} = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} – 4} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( { – {x^2} + x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} + 3} \right)\left( {\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)} + 2} \right)}} + \left( { – {x^2} + x + 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( { – {x^2} + x + 2} \right)\left[ {\dfrac{2}{{\left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {3 – x} + 3} \right)\left( {\sqrt {\left( {x + 2} \right)\left( {3 – x} \right)} + 2} \right)}} + x + 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow x = 2 \vee x = – 1 \end{array}[/latex]

Chia sẻ