Giải câu 46 Đề thi Minh họa 2021

Trong thời gian qua khi đề thi minh họa được công bố, nhiều thầy cô đã có lời giải cho câu 46 (VDC) này. Ở đây chúng tôi trình bày lời giải theo hướng kết hợp giữa giữa PP truyền thống (tự luận) và sử dụng MTCT.

Nhìn vào bảng biến thiên của $f'(x)$ ta thấy $f”(x)$ là hàm số bậc hai có hai nghiệm $x=-3 ; x=-1$. Do đó $f”(x)=a(x+3)(x+1)\Rightarrow f'(x)=a\left(\dfrac{x^3}{3}+2x^2+3x\right)+C$. Do $f'(-3)=-1$ và $f'(-1)=-\dfrac{61}{3}$ nên

Vậy $f'(x)=\dfrac{29}{2}\left(\dfrac{x^3}{3}+2x^2+3x-\dfrac{2}{29}\right)$. Ta thấy $f'(0)=-1<0$ nên nhìn vào bảng biến thiên ta thấy $f'(x)<0\ \forall x <0$.

Đặt $h(x)=f(x^3)-3x\Rightarrow h'(x)=3x^2f'(x^3)-3$. Xét phương trình $h'(x)=0$.

Vì $x=0$ không là nghiệm nên:

$h'(x)=0 \Leftrightarrow   f'(x^3)-\dfrac{1}{x^2}=0\quad (*)$. Nếu $x<0$ thì $x^3<0 \Rightarrow  f'(x^3)<0$ mà $\dfrac{1}{x^2} > 0$ nên phương trình không có nghiệm âm.

$(*) \Leftrightarrow \dfrac{29}{2}\left(\dfrac{x^9}{3}+2x^6+3x^3-\dfrac{2}{29}\right)-\dfrac{1}{x^2}=0$. Vì đạo hàm vế trái của phương trình luôn luôn dương (với mọi $x>0$) và phương trình có một nghiệm $x=a$ nên nghiệm đó là duy nhất.

$h(a)=f(a^3)-3a=\displaystyle \int_0^{a^3}f'(x)dx -3a $ (lưu ý $f(0)=0$)  $<0$.

Vậy phương trình $h(x)=0$ có hai nghiệm và do đó hàm số $g(x)=|h(x)|$ có ba điểm cực trị. Chọn A.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.