Giải bài thi chọn HGS Toán Hà Nội năm học 2021-2022

hsghnvt

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Điều kiện $x\geqslant \dfrac12$.

$\sqrt{x+1}+\sqrt{3x}=\sqrt{2x+2}+\sqrt{2x-1}$

$\Leftrightarrow 4x+1+2\sqrt{3x^2+3x}=4x+1+2\sqrt{4x^2+2x-2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3x^2+3x}=\sqrt{4x^2+2x-2}$

$\Leftrightarrow x^2-x-2=0 \Leftrightarrow x=-1\ \text{(loại)}$ hay $x=2$

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất $x=2$.

hsghnhpt1 1

 

 

 

 

Điều kiện $x\geqslant 1 ; y\geqslant 0$.

$(1)\Leftrightarrow \left(x-\dfrac52\right)^2+4\sqrt{x-1}-\dfrac94=\left(y-\dfrac32\right)^2+4\sqrt{y}-\dfrac94 \quad (3)$

Hàm số $f(t)=t^2+4\sqrt{t+\dfrac32}-\dfrac94$ $\left(t\geqslant -\dfrac32\right)$ là hàm số đồng biến nên phương trình  (3) có dạng:

$f(u)=f(v)$ với $u=x-\dfrac52, v=y-\dfrac32$

Do đó $u=v \Leftrightarrow y=x-1$.

Thay vào (2) ta có $x^2+(x-1)^2=5\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Leftrightarrow x=2$ (chú ý điều kiện $x \geqslant 1$).

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left\lbrace\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$
 
 

 

 
Nhận xét: Trong kỳ thi HSG QG môn Toán, học sinh không được sử dụng MTCT. Tuy nhiên để giải hệ phương trình này như một bài tập, ta có thể sử dụng MTCT để dự đoán biểu thức tính $y$ theo $x$.

  1. 1. Viết phương trình (1) theo hai biến $x,y$ lên màn hình
  2. 2. Bấm SHIFT SOLVE, máy tính hỏi $x$ ta lần lượt cho $x=1,2,3,4, v.v\dots$ để giải phương trình tìm $y$. Kết quả sẽ được viết vào một bảng như sau:
    banghn

 

Do đó có thể dự đoán $y=x-1$.
 

 

hsghnhs1a
 
 
 

Xét hàm số $y=\dfrac{x^2+mx-1}{x^2+2x+3}$.
 
Ta thấy ngay đồ thị hàm số có hai giao điểm với trục hoành.

Đạo hàm $y’=\dfrac{(2-m)x^2+8x+3m+2}{(x^2+2x+3)^2}$.

Với $m\ne 2, \Delta’=16+(m-2)(3m+2)=3m^2-4m+12>0$.

Do đó hàm số có hai điểm cực trị.

Vậy hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Tetrahedron

Vận dụng công thức góc giữa hai mặt bên của khối tứ diện

Hướng dẫn: Gọi $N$ là trung điểm $BC$. Nhận xét rằng vì $AB=AC$ và $SB=SC$ …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết