Một bài toán thực tế hay cho học sinh 12

Gọi F là một ròng rọc, treo tự do vào cuối sợi dây AF được gắn chặt tại A, và gọi C là quả cân. C được treo ở cuối của sợi dây BFC phía sau ròng rọc F và sợi dây được gắn chặt tại B sao cho các điểm A và B nằm trên cùng một đường ngang. Giả sử rằng ròng rọc và dây thừng có khối lượng không đáng kể. Xác định vị trí của ròng rọc, nghĩa là F ở vị trí nào trong mặt phẳng  để  $C$ cách đường ngang AB một độ dài lớn nhất.

Áp dụng bằng số $AB=90$cm, AF $= 15$cm.

rr 1

 

 

 

 

Đây là bài toán kinh điển của phép tính vi tích phân được  gọi là “bài toán ròng rọc của Lô-pi-tal” (L’hospital’s Pulley Problem)

 

GIẢI

rrmChọn một hệ trục toạ độ $Axy$ gốc $A$, tia $Ax$ đi qua $B$, tia $Ay$ hướng xuống dưới và chọn $15$cm=1 đvd. Khi đó:
$$A(0;0), B(6;0), C(x,y), E(x,0)$$
trong đó $E$ là hình chiếu vuông góc của $F$ trên trục hoành. Như vậy $y=EF+FC$.

Gọi $\ell$ là một số thực sao cho $\ell\times 15$cm là chiều dài của dây thừng BFC (chú ý $\ell$ là hằng số). ta xác định $x$ sao cho $y$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: $EF=\sqrt{1-x^2}$,
$BF^2=EF^2+EB^2=(1-x)^2+(6-x^2)\Rightarrow BF=\sqrt{37-12x}$.

Vậy $FC= \ell  -\sqrt{37-12x}$.

Do đó $y=\sqrt{1-x^2}-\sqrt{37-12x} +\ell $

$y’=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x62}}+\dfrac{6}{\sqrt{37-12x}}$

$y’=0\Leftrightarrow 6\sqrt{1-x^2}=x\sqrt{37-12x}$

Bình phương hai vế bằng  cách khai triển nhanh trên MTCT

rr3a

rr3b

Kết quả ta có phương trình  bậc ba $12x^3-73x^2+36=0$

rr3c

Ta nhận được  $x=\dfrac34\Rightarrow C\left(\dfrac34;\dfrac{\sqrt7}{4}\right)$. Bài toán đã được  giải xong.

 

PS. Hình vẽ được  viết bằng   metapost bởi  Sergey Slyurasev. Các thầy cô dạy Vật Lý muốn code mp  để biên dịch thành pdf có thể comment ở dưới. Tác giả còn giới thiệu thêm một số hình vẽ vật lý khác trong thư viện của ông, như:

rr 2

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

download

Về hai bài toán nguyên hàm/tích phân của chuyên Lam Sơn lần 3 (bài 1)

Hai bài toán này như sau: Hai bài này có một đặc diểm chung là …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết