Lại nói về tứ giác nội tiếp

Vậy tứ giác $AOMF$ nội tiếp.

Tứ giác $AMON$ có $\widehat{MAN}+\widehat{MON}= \widehat{MAN}+\widehat{BOC}=60^\circ +120^\circ=180^\circ$ nên cũng là tứ giác nội tiếp.

Tóm lại 5 điểm $A, N, O, M, F$ cùng nằm trên một đường tròn, đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMO$ . (đpcm)

$\widehat{CJQ}=\dfrac{\text{sđ cung}\ BP +\text{sđ cung}\ CQ}{2}=\text{sđ cung}\ CQ $

$\widehat{CJQ}=\widehat{COQ}$ (số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn.)

$\widehat{COQ}=2 \widehat{CFQ}$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung)

$2\widehat{CFQ}=\widehat{CMQ}$.

Tóm lại $\widehat{CJQ}=\widehat{COQ}=\widehat{CMQ}$ suy ra 5 điểm $M, O, J, Q, C$ cùng nằm trên một đường tròn , đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác $COQ$.

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMO$, hai cát tuyến $BMA$ và $BOM$ cho ta $BN.BA=BO.BM$ (do hai tam giác $BNO$ và $BMA$ đồng dạng ).

Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác $COQ$, hai cát tuyến $BJC$ và $BOM$ cho ta $BJ.BC=BO.BM$ (do hai tam giác $BOQ$ và $BCM$ đồng dạng).

Vậy $BN.BA=BJ.BC$, suy ra tứ giác $ANJC$ nội tiếp.

Do đó $\widehat{NAJ}=\widehat{NCJ}=30^\circ$, suy ra $AJ$ là tia phân giác của góc $BAC$.