Một cách khác giải bài toán phương trình bậc 2 TS 10 Đà nẵng

Ta có: $\Delta’=(m+1)^2-(6m-4)=m^2-4m+5=(m-2)^2+1>0 \ \forall m$ nên phương trình luôn luôn có hai nghiệm $x_1, x_2$.

Xét hệ ba phương trình 3 ẩn: $$\left\{\begin{array}{ll}x_1+x_2=-2m-2& (1)\\
x_1.x_2=6m-4&(2)\\
(4x_1-2mx_1-6m+13)x_2^2-24x_1-100=0&(3)
\end{array} \right.$$
Nhận xét: $x^2+2(m+1)x+6m-4=0 ⇒ x_2^2=(-2m-2)x_2-6m+4$ thay vào $(3)$ ta có:
 
$\left[(4-2m)x_1-6m+13\right]\left[(-2m-2)x_2-6m+4\right]-24x_1-100=0$
 
$⇔ (4m^2-4m-8)x_1x_2+(12m^2-32m-8)x_1+(12m^2-14m-26)x_2+36m^2-102m-48=0\quad (4)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $3(x_1+x_2)+x_1x_2=-10 ⇔ x_1x_2=-10-3(x_1+x_2)$ thay vào (4): $\qquad (-20m+16)x_1+(-2m-2)x_2-4m^2-62m+32=0\quad (5)$
Giải hệ $(1); (5)$
 
$\left\{\begin{array}{llrl} x_1&+&x_2&=-2m-2\\
(10m-8)x_1&+(m+1)&x_2&=-2m^2-31m+16
\end{array} \right. $
 
$⇔
\left\{\begin{array}{ll} x_1&=\dfrac{-3m+2}{m-1}\\
x_2&=\dfrac{m(3-2m)}{m-1}
\end{array} \right.$
Thay vào $(2)$ ta có:
 
$-m(3m-2)(3-2m)=2(m-1)^2(3m-2)\quad (m \ne 1)\quad (6)$
$⇔ \left[\begin{array}{l}3m-2=0\\
-m(3-2m)=2(m-1)^2
\end{array}
\right.
⇔ \left[\begin{array}{l}3m-2=0\\
m=2
\end{array}
\right.⇔ \left[\begin{array}{l}m=\dfrac23\\
m=2
\end{array}
\right.$

Lưu ý. Nhập VT-VP của đẳng thức $(6)$ vào máy tính Casio fx-880BTG:     Vậy $(6) ⇔ 3m^2-8m+4=0 ⇔ m=2 ∨ m=\dfrac23$

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.