BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Một bài MOD 2015^2015
- 18/10/2017
- 284 lượt xem
Đề bài: Tìm dư khi chia [latex]A=1^{2015}+2^{2015}+\,…\,+2015^{2015}[/latex] cho 11.
Bài giải
Ta chia thành các nhóm sau để tìm dư:
+ Nhóm 1: Các số từ 1 tới 11, nhưng vì [latex]11^{2015} \vdots 11[/latex] nên thực chất ta chỉ xét từ 1 tới 10.
+ Nhóm 2: Các số từ 12 tới 22, và cũng tương tự, ta chỉ xét tới 21.
… v.v
Số nhóm cần tách là: [latex]2015:R11= 183[/latex] nhóm.
Mặt khác ta có công thức sau:
[latex](a+b)^n\equiv b^n\,(\text{mod }a\,\,\,(a>0)[/latex]Ta đi tính dư:
[latex]\begin{cases}1^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\2^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\3^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\4^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\5^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\6^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\7^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\8^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\\9^{2015}\equiv1 & (\text{mod}\,11)\\10^{2015}\equiv10 & (\text{mod}\,11)\end{cases} [/latex]Vậy
$$\begin{array}{*{20}{c}}
{}&A& \equiv &{{1^{2015}} + {2^{2015}} + … + {{2015}^{2015}}}\\
\Leftrightarrow &A& \equiv &{(1 \times 5 + 10 \times 5).\frac{{2013}}{{11}} + {{2014}^{2015}} + {{2015}^{2015}}}\\
\Leftrightarrow &A& \equiv &{55 \times 183 + 1 + 10}\\
\Leftrightarrow &A& \equiv &{0({\rm{mod}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 11)}
\end{array}$$
About TailieuCasio
