BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Dựa vào BĐT cơ bản để CM 1 bất đẳng thức mới
- 29/05/2024
- 113 lượt xem
 |
| BĐT cơ bản 1. Cho $a, b,c $ tuỳ ý, ta có các bất đẳng thức cơ bản sau đây:
$\left\lbrace\begin{array}{l}a^2+b^2\geqslant 2ab\\
b^2+c^2\geqslant 2bc\\ c^2+a^2\geqslant 2ca\end{array} \right.$ $⇒ a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ |
| BĐT cơ bản 2. Với $a, b, c$ tuỳ ý ta có: $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) \geqslant 3(ab+bc+ca)$. Ngoài ra: |
| Vậy: $$3(ab+bc+ca)\leqslant (a+b+c)^2\leqslant 3(a^2+b^2+c^2)$$ |
Áp dụng. Ta chứng minh bất đẳng thức đã cho.
Đặt $x=a+b+c, y=ab+bc+ca$. Theo đề bài $a^2+b^2+c^2+3=2(ab+bc+ca) ⇔ x^2-2y+3=2y ⇔ y=\dfrac{x^2+3}{4} \quad (1)$
Theo bất đẳng thức cơ bản 2 ta có: $3y\leqslant x^2 \quad (2)$
Từ (1) và (2) ta suy ra $\qquad 3.\dfrac{x^2+3}{4} \leqslant x^2 ⇔ x^2 \geqslant 9$ và do $x\geqslant 0$ nên ta suy ra $x \geqslant 3$.
Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức bên phải: $x \leqslant \dfrac{2y+3}{3}$. (3)
Thậy vậy $(3) ⇔ 3x \leqslant \dfrac{x^2+3}{2}+3 ⇔ x^2-6x+9 \geqslant 0 ⇔ (x-3)^2 \geqslant 0$ (hiển nhiên).
Tóm lại ta đã chứng minh được: $$\begin{array}{l} a+b+c \geqslant 3\\
a+b+c \leqslant \dfrac{2(ab+bc+ca)+3}{3}\end{array} $$
About TS. Nguyễn Thái Sơn
