Định lý Simson và ứng dụng

Chứng minh.

• Tứ giáC $MIBK$ nội tiếp đường tròn đường kính $BM$ nên $\widehat{BIK}=\widehat{BMK} =90^\circ -\widehat{MBK}$
• Tứ giáC $MIJC$ nội tiếp đường tròn đường kính $CM$ nên $\widehat{CIJ}=\widehat{CMJ} =90^\circ -\widehat{MCJ}$
• Tứ giáC $ABMC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ nên $\widehat{MBK}=\widehat{MCJ}$

Vậy $\widehat{BIK}=\widehat{CIJ}$, suy ra ba điểm $I, J, K$ thẳng hàng. (đpcm).

Áp dụng 1: Đề thi lớp 10 năm 2014 SGD và ĐT Hà Nam.

Giải

1. a) Ta thấy $M$ và $H$ cùng nhìn $BD$ dưới một góc vuông nên tứ giác $BDHM$ nội tiếp đường tròn đường kính $BD$.
2. b) $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}$ (cùng chắn cung $AC$)$\widehat{ABC}=\widehat{ADM}$ (góc có các cạnh vuông góc)Suy ra $\widehat{ADC}=\widehat{ADM}$, nghĩa là $DA$ là tia phân giác của $\widehat{MDC}$.
3. b) $D$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $H, N, M$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên các cạnh $BC, CA, AB$ nên ba điểm $H, N, M$ thẳng hàng trên đường thẳng Simson ứng với điểm $D$ của tam giác.

Lưu ý: Thay vì giải thích như trên, học sinh viết 4 dòng của chứng minh vào bài làm.

Áp dụng 2: Đề thi lớp 10 năm 2016 SGD và ĐT Daklak.

Giải

1. a) Tam giác $ABC$ nhận $AN$ và $BM$ làm hai đường cao nên $H$ là trực tâm. Suy ra $CH \perp AB$.
2. b) Do $AC$ là đường trung trực của $DH$ nên $\widehat{ADC}=\widehat{CHA}=90^\circ+\widehat{NCH}=90^\circ+90^\circ -\widehat{CBA}$.Suy ra $\widehat{ADC}+\widehat{CBA}=180^\circ$. Do đó tứ giác $ABCD$ nội tiếp.
3. c) Điểm $A$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDC$ và $P, M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các cạnh $CD, DB, BC$ nên theo định lý Simson, ba điểm $P, M, N$ thẳng hàng.

Lưu ý: Kết luận ở trên xem như định hướng nhanh cho lời giải, học sinh viết 4 dòng của chứng minh định lý vào bài làm.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.