Đại số (câu 1) TS 10 PTNK 2024

Xét hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l}y^3+z^3=x\quad (1)\\
z^3+x^3=y\quad (2)\\ x^3+y^3=z \quad (3)\end{array}\right. $$

Ta giải hệ phương trình bằng phương pháp khử. Lấy (1) trừ (2) ta có:

$\quad y^3-x^3+y-x=0 ⇔ (y-x)(y^2+yx+x^2+1)=0$

$⇔ (y-x)\underbrace{\left[\left(y+\dfrac{x}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}x^2+1\right]}_{>0}=0$

$⇔ y=x$.

Tương tự lấy (2) trừ (3) ta có: $y=z$.

Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l}2x^3-x=0\\
y=x\\ z=y\end{array} \right. ⇔ \left\{\begin{array}{l}x=0\\
y=0\\ z=0\end{array} \right. ∨ \qquad \left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{\sqrt2}{2}\\
y=\dfrac{\sqrt2}{2}\\ z=\dfrac{\sqrt2}{2}\end{array} \right. ∨ \qquad \left\{\begin{array}{l}x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\
y=-\dfrac{\sqrt2}{2}\\ z=-\dfrac{\sqrt2}{2}\end{array} \right. $$

$$\left(\sqrt{x}-1\right)\left[x^2-2(a+b)x+ab+2\right]=0 ⇔ \left[ \begin{array}{ll}\sqrt{x}-1=0 &(1)\\
x^2-2(a+b)x+ab+2=0 &(2)\end{array} \right.$$

Điều kiện $x \geqslant 0$.

$(1) ⇔ x=1$.

Trong (2) ta tính $\Delta’=(a+b)^2-ab-2=a^2+b^2+ab-2\geqslant 3ab-2$. Vì $a, b$ nguyên dương nên $ab \geqslant 1$. Vậy $\Delta’ \geqslant 3ab-2>0$.

Do đó phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt. Vì $S=2(a+b)>0 , P=ab+2>0$ nên hai nghiệm này đều dương. Ta chứng minh hai nghiệm này đều khác 1.

Thật vậy Thay $x=1$ vào (2) ta có: $ab-2a-2b+3= 0 ⇔ (a-2)(b-2)=1 \quad (3)$.

Vì $a-2$ và $b-2$ là các số nguyên nên:

Mâu thuẩn với giả thiết $a\ne b$.

Tóm lại phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương và khác 1 nên phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.