Một bài toán 3 điểm thẳng hàng phải dùng đến nhiều tứ giác nội tiếp

 

Việc chứng minh 3 điểm thẳng hàng là một công việc quen thuộc ở lớp 7-8. Tuy nhiên trong một số bài toán hình học lớp 9, việc đó có vẻ không dễ dàng, như ví dụ dưới đây:
Từ một điểm $M$ nằm ngoài $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $MA, MB$ và cát tuyến $MCD$ với $(O)$ ($A,B$ là tiếp điểm và cát tuyến $MCD$ nằm trong $\widehat{AMO}$ với $MC < MD$).
Tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$ cắt $MB$ tại $E$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên đường thẳng $MO$. Chứng minh ba điểm $A, C, I$ thẳng hàng.

 

 

ddm1a

 

Gợi ý: Ta chỉ cần chứng minh $\widehat{ACO}+\widehat{ECI}=90^\circ$.

– $\widehat{ECI}=\widehat{EOI}$ (tứ giác $COEI$ nội tiếp đường tròn đường kính $OI$.)

– $\widehat{ACO}=\widehat{OAC}=\widehat{OAB}+\widehat{BAC}$

Lưu ý $\left\{\begin{array}{l}\widehat{OAB}=\widehat{OMB} \quad \text{(tứ giác}\ MAOB\ \text{nội tiếp đường tròn đường kính} MO.)\\
\widehat{BAC}=\widehat{MBC}\quad \text{(cùng chắn cung}\ BC)\end{array}\right.$

Suy ra $\widehat{ACO}= \widehat{MBC}+\widehat{OMB}=\widehat{OEI}$ (các bạn tự kiểm tra dựa vào các tam giác vuông liên quan với chú ý $BC\perp OE$ do $OE$ là đường trung trực của $BC$).

Vậy $\widehat{ACO}+\widehat{ECI}=\widehat{OEI}+\widehat{EOI}=90^\circ$ (đpcm).

 

 

Một học sinh lớp 9 đã trình bày lời giải sau đây:

 

ddm1b

 

năm điểm $O, E, C, I, B$ nằm trên đường tròn đường kính $OE$.

Vậy $\widehat{ICB}=\widehat{IOB}\quad (1)$

Do $OM$ là tia phân giác của góc $\widehat{AOB}$ nên

$\widehat{IOB}=\dfrac12\widehat{AOB}\quad (2)$

Góc $\widehat{ADB}$ là góc nội tiếp và góc $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm cùng chắn cung $AB$ nên:

$\dfrac12\widehat{AOB}=\widehat{ADB}\quad (3)$.

Từ $(1), (2)$ và $(3)$ ta suy ra: $\widehat{ICB}=\widehat{ADB}$.

Vậy $$\widehat{ICA}=\widehat{ICB}+\widehat{ACB}=\widehat{ADB}+\widehat{ACB}=180^\circ \quad \text{do tứ giác} \ ADBC \ \text{nội tiếp}.$$

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

BỘ ĐỀ THI HKII LỚP 8

BITEXEDU gửi quý thầy, cô và các bạn học sinh lớp 8 bộ đề thi …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết