Về một bài toán tìm 4 chữ số của số $\overline{abcd}$
- 23/12/2024
- 762 lượt xem
Bài toán. Tìm số $\overline{abcd}$ biết rằng $$\overline{abcd}.\overline{dcba}=\overline{badac000}$$ |
Ta thấy $a.d$ chia hết cho $10$ nên một trong hai số $a, d$ là $5$. Ta giả sử $d=5$ vì nếu $a=5$ thì ta sẽ tìm số $\overline{dcba}$ rồi suy ra số cần tìm.
Khi $d=5$ thì $a\in \{2, 4, 6, 8\}$ (khi đó $a.c$ là số chẵn ). Ta sẽ lần lượt xét các số này.
Chữ số hàng chục của tích đã cho là chữ số đơn vị của tích $a.c+b.d+n$ (với $n=1, 2, 3, 4$ là chữ số chục của tích $a.d$).
vì $d=5$ nên chữ số đơn vị $v$ của $b.d$ là $0$ hoặc $5$.
Nếu $v=0$ (nghĩa là $b=2, 4, 6, 8$) thì vì $a.c+bd+n$ chia hết cho $10$ nên $n$ không thể là số lẻ, do đó $a=2, a=6$ bị loại. Trong trường hợp này ta chỉ xét $a=4, a=8$. |
Nếu $v=5$ (nghĩa là $b=1, 3, 5, 7, 9$) thì vì $a.c+bd+n$ chia hết cho $10$ nên $n$ không thể là số chẵn, do đó $a=4, a=8$ bị loại. Trong trường hợp này ta chỉ xét $a=2, a=6$. |
Ta không có đủ thời gian để tìm tất cả các số nên ta chỉ tìm một số thoả yêu cầu bài toán. Vì vậy ta hạn chế số lần thử (dựa vào kết quả của phép nhân hai số đã cho) như sau:
1. Nếu $a=4$ ta chỉ xét $b=2$ vì khi đó $\overline{42c5}.\overline{5c24}$ phù hợp hơn.
2. Nếu $a=8$ ta chỉ xét $b=4$ vì khi đó $\overline{84c5}.\overline{5c48}$ phù hợp hơn.
3. Nếu $a=2$ ta chỉ xét $b=1$ vì khi đó $\overline{21c5}.\overline{5c12}$ phù hợp hơn.
4. Nếu $a=6$ ta chỉ xét $b=3$ vì khi đó $\overline{63c5}.\overline{5c36}$ phù hợp hơn.
Ta thử trường hợp 1 và trường hợp 4 với hai hàm số $f(x)=\dfrac{(4205+10x)(5024+100x)}{1000}$ và hàm số $g(x)=\dfrac{(6305+10x)(5036+100x)}{1000}$
Một kết quả tìm được là $\overline{6375}$ vì $\overline{6375}.\overline{5736}$ (thỏa yêu cầu bài toán).