Về bài toán hình học đề thi chuyên 10 năm 2022 TP HCM

chuyen1

hinh1

 

Trên các diễn đàn đã có nhiều lời giải tham khảo, những lời giải đó dựa vào yếu tố ngoại lai, tức là vẽ thêm vào hình (thường là dành cho học sinh giỏi). Ở đây chúng tôi giới thiệu cách giải dựa vào yếu tố nội tại.

 
 

Ta giả sử cạnh hình vuông là 1 (đv).
 

Đặt $BM=x, DN=y$. Ta xây dựng mối quan hệ giữa $x,y$ sao cho $\widehat{MAN}=45^\circ$.
 

Trong tam giác $AMN$ ta có hệ thức:
$$MN^2=AM^2+AN^2-2AM.AN.\cos 45^\circ$$

$\Leftrightarrow CM^2+CN^2=AB^2+BM^2+AD^2+DN^2-2\sqrt{AB^2+BM^2}.\sqrt{AD^2+DN^2}.\cos45^\circ$

$\Leftrightarrow (1-x)^2+(1-y)^2=1+x^2+1+y^2-2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}.\dfrac{\sqrt2}{2}$.
 

Khai triển và thu gọn ta được $$x+y=1-xy$$
 

Khi đó $MN^2=(1-x)^2+(1-y)^2=(x+y^2)-2(xy+x+y-1)=(x+y)^2\Rightarrow MN=x+y.$
 

Khoảng cách từ $A$ đến $MN$ bằng chiều cao $AH$ của tam giác $AMN$:
$$AH=\dfrac{2S_{AMN}}{MN}=\dfrac{AM.AN.\sin45^\circ}{MN}$$

$AH^2=\dfrac12.\dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{(x+y)^2}=\dfrac12.\dfrac{1+(x+y)^2-2xy+(xy)^2}{(x+y)^2}=\dfrac12.\dfrac{(x+y)^2+(xy-1)^2}{(x+y)^2}=1$.
 
Chú ý: $(xy-1)^2=(x+y)^2$
 
Vậy $AH=1$, nghĩa là $AH=AB$. Do đó $MN$ tiếp xúc với đường tròn tấm $A$ bán kính $AB$.

 
b)
 

Trong tam giác $AMN$ ta có: $$\cos N=\dfrac{NA^2+NM^2-AM^2}{2NA.NM}=\dfrac{1+y^2+(x+y)^2-(1+x^2)}{2\sqrt{1+y^2}(x+y)}=\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}=\cos \widehat{DNA}$$

Suy ra $\widehat{ANM}=\widehat{DNA}$ mà $\widehat{DNA}=\widehat{NAP}$ (sole trong)

nên $\widehat{ANM}=\widehat{NAP}$, suy ra tứ giác $APMN$ là hình thang cân nên $AP=MN$.

Tương tự $AQ=MN$.

Kết luận: $AP=AQ.$
 
 

 

Trong bài toán ta sử dụng một hệ thức lượng trong tam giác. Để giải đề thi chuyên nên biết hệ thức lượng này.

Cho tam giác $ABC$. Ta có: $BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A$
 

Chứng minh:
 
Hạ đường cao $CH$. Ta có: $$BC^2=HB^2+HC^2=(AB-AH)^2+AC^2-AH^2$$

$$=AB^2+AC^2-2AB.AH=AB^2+AC^2-AB.AC.\cos A$$

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Chia đa thức bậc ba cho tam thức bậc hai

    Bài toán: Cho đa thức bậc ba $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ và tam thức bậc hai …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết