BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Về bài toán hình học đề thi chuyên 10 năm 2022 TP HCM
- 09/09/2022
- 212 lượt xem
| Trên các diễn đàn đã có nhiều lời giải tham khảo, những lời giải đó dựa vào yếu tố ngoại lai, tức là vẽ thêm vào hình (thường là dành cho học sinh giỏi). Ở đây chúng tôi giới thiệu cách giải dựa vào yếu tố nội tại. |
Ta giả sử cạnh hình vuông là 1 (đv).
Đặt $BM=x, DN=y$. Ta xây dựng mối quan hệ giữa $x,y$ sao cho $\widehat{MAN}=45^\circ$.
Trong tam giác $AMN$ ta có hệ thức:
$$MN^2=AM^2+AN^2-2AM.AN.\cos 45^\circ$$
$\Leftrightarrow CM^2+CN^2=AB^2+BM^2+AD^2+DN^2-2\sqrt{AB^2+BM^2}.\sqrt{AD^2+DN^2}.\cos45^\circ$
$\Leftrightarrow (1-x)^2+(1-y)^2=1+x^2+1+y^2-2\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)}.\dfrac{\sqrt2}{2}$.
Khai triển và thu gọn ta được $$x+y=1-xy$$
Khi đó $MN^2=(1-x)^2+(1-y)^2=(x+y^2)-2(xy+x+y-1)=(x+y)^2\Rightarrow MN=x+y.$
Khoảng cách từ $A$ đến $MN$ bằng chiều cao $AH$ của tam giác $AMN$:
$$AH=\dfrac{2S_{AMN}}{MN}=\dfrac{AM.AN.\sin45^\circ}{MN}$$
$AH^2=\dfrac12.\dfrac{(1+x^2)(1+y^2)}{(x+y)^2}=\dfrac12.\dfrac{1+(x+y)^2-2xy+(xy)^2}{(x+y)^2}=\dfrac12.\dfrac{(x+y)^2+(xy-1)^2}{(x+y)^2}=1$.
Chú ý: $(xy-1)^2=(x+y)^2$
Vậy $AH=1$, nghĩa là $AH=AB$. Do đó $MN$ tiếp xúc với đường tròn tấm $A$ bán kính $AB$.
b)
Trong tam giác $AMN$ ta có: $$\cos N=\dfrac{NA^2+NM^2-AM^2}{2NA.NM}=\dfrac{1+y^2+(x+y)^2-(1+x^2)}{2\sqrt{1+y^2}(x+y)}=\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}=\cos \widehat{DNA}$$
Suy ra $\widehat{ANM}=\widehat{DNA}$ mà $\widehat{DNA}=\widehat{NAP}$ (sole trong)
nên $\widehat{ANM}=\widehat{NAP}$, suy ra tứ giác $APMN$ là hình thang cân nên $AP=MN$.
Tương tự $AQ=MN$.
Kết luận: $AP=AQ.$
| Trong bài toán ta sử dụng một hệ thức lượng trong tam giác. Để giải đề thi chuyên nên biết hệ thức lượng này.
Cho tam giác $ABC$. Ta có: $BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.\cos A$ Chứng minh: $$=AB^2+AC^2-2AB.AH=AB^2+AC^2-AB.AC.\cos A$$ |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
