Về bài toán Hình học (2) thi 10 chuyên 2022 TP HCM
- 10/09/2022
- 192 lượt xem
Lời giải:
Tam giác $AMI$ nhận $H$ làm trực tâm nên: $$HI.HK=HA.HD\quad (1)$$
Tam giác $ABC$ nhận $H$ làm trực tâm nên: $$HF.HC=HA.HD\quad (2)$$
Từ (1) và (2) suy ra $$HI.HK=HF.HC$$
Do đó tứ giác $IKFC$ nội tiếp.
Xét tam giác $EID$.
Tứ giác $AFHE$ nội tiếp, suy ra $\widehat{E}_1=\widehat{A}_1$ (cùng chắn cung $FH$).
$\widehat{A}_1$ phụ với $\widehat{ABC}$.
$\widehat{ABC}=\widehat{DEC}$ (do tứ giác $AEDB$ nội tiếp).
$\widehat{DEC}$ phụ với $\widehat{E}_2$.
Vậy $\widehat{E}_1=\widehat{E}_2$
Suy ra $EB$ là đường phân giác trong và $EC$ là đường phân giác ngoài góc $\widehat{IED}$.
Vậy $\dfrac{BI}{BD}=\dfrac{CI}{CD}$.
b) Tứ giác $HKMD$ nội tiếp đường tròn đường kính $HM$ nên $$ID.IM=IH.IK$$
Tứ giác $AFHK$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$ nên $$IE.IF=IH.IK$$
Vậy $$IE.IF=ID.IM$$
Suy ra tứ giác $EFDM$ nội tiếp.
Vậy $M$ là giao điểm thứ hai của đường tròn Ơ-le với đường thẳng $BC$ nên $M$ là trung điểm $BC$ (đpcm).
Lưu ý: Học sinh thi chuyên nên tự học thêm nhiều kiến thức về hình học, ví dụ đường tròn đi qua 9 điểm, còn gọi là đường tròn Ơ-le. Các bạn có thể đọc thêm tại đây:
Đường tròn Ơ-le (Euler)
|