Về bài toán Hình học (2) thi 10 chuyên 2022 TP HCM

Lời giải:

Tam giác $AMI$ nhận $H$ làm trực tâm nên: $$HI.HK=HA.HD\quad (1)$$

Tam giác $ABC$ nhận $H$ làm trực tâm nên: $$HF.HC=HA.HD\quad (2)$$

Từ (1) và (2) suy ra $$HI.HK=HF.HC$$

Do đó tứ giác $IKFC$ nội tiếp.

Xét tam giác $EID$.

Tứ giác $AFHE$ nội tiếp, suy ra $\widehat{E}_1=\widehat{A}_1$ (cùng chắn cung $FH$).

$\widehat{A}_1$ phụ với $\widehat{ABC}$.

$\widehat{ABC}=\widehat{DEC}$ (do tứ giác $AEDB$ nội tiếp).

$\widehat{DEC}$ phụ với $\widehat{E}_2$.

Vậy $\widehat{E}_1=\widehat{E}_2$

Suy ra $EB$ là đường phân giác trong và $EC$ là đường phân giác ngoài góc $\widehat{IED}$.

Vậy $\dfrac{BI}{BD}=\dfrac{CI}{CD}$.

b) Tứ giác $HKMD$ nội tiếp đường tròn đường kính $HM$ nên $$ID.IM=IH.IK$$

Tứ giác $AFHK$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$ nên $$IE.IF=IH.IK$$

Vậy $$IE.IF=ID.IM$$
Suy ra tứ giác $EFDM$ nội tiếp.

Vậy $M$ là giao điểm thứ hai của đường tròn Ơ-le với đường thẳng $BC$ nên $M$ là trung điểm $BC$ (đpcm).

About TS. Nguyễn Thái Sơn

Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013).