Về bài toán Hình học (2) thi 10 chuyên 2022 TP HCM

hinh2

 

Lời giải:

 

hinh4

 

Tam giác $AMI$ nhận $H$ làm trực tâm nên: $$HI.HK=HA.HD\quad (1)$$

Tam giác $ABC$ nhận $H$ làm trực tâm nên: $$HF.HC=HA.HD\quad (2)$$

Từ (1) và (2) suy ra $$HI.HK=HF.HC$$

Do đó tứ giác $IKFC$ nội tiếp.

 

Xét tam giác $EID$.

Tứ giác $AFHE$ nội tiếp, suy ra $\widehat{E}_1=\widehat{A}_1$ (cùng chắn cung $FH$).

$\widehat{A}_1$ phụ với $\widehat{ABC}$.

$\widehat{ABC}=\widehat{DEC}$ (do tứ giác $AEDB$ nội tiếp).

$\widehat{DEC}$ phụ với $\widehat{E}_2$.

Vậy $\widehat{E}_1=\widehat{E}_2$

Suy ra $EB$ là đường phân giác trong và $EC$ là đường phân giác ngoài góc $\widehat{IED}$.

Vậy $\dfrac{BI}{BD}=\dfrac{CI}{CD}$.

 

b) Tứ giác $HKMD$ nội tiếp đường tròn đường kính $HM$ nên $$ID.IM=IH.IK$$

 

hinh5

Tứ giác $AFHK$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$ nên $$IE.IF=IH.IK$$

Vậy $$IE.IF=ID.IM$$
Suy ra tứ giác $EFDM$ nội tiếp.

Vậy $M$ là giao điểm thứ hai của đường tròn Ơ-le với đường thẳng $BC$ nên $M$ là trung điểm $BC$ (đpcm).

 

 

 

Lưu ý: Học sinh thi chuyên nên tự học thêm nhiều kiến thức về hình học, ví dụ đường tròn đi qua 9 điểm, còn gọi là đường tròn Ơ-le. Các bạn có thể đọc thêm tại đây:

Đường tròn Ơ-le (Euler)

 

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Phép giải tam giác khi biết một chiều cao (bài 2)

2019. Cho tam giác ABC có các góc A, C nhọn; BC = 3,5; đường …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết