Số hạng tổng quát của dãy số quy nạp (bài 2)

Cho dãy số $(u_n)$ xác đinh bởi: $$\left\lbrace\begin{array}{l}u_1=u; u_2=v\\ u_{n}+au_{n-1}+bu_{n-2}= c\ \ \forall n \geqslant 3 \end{array}\right.$$
trong đó $a,b,c \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng số hạng tổng quát của dãy số nói trên được xác định bởi $$u_n=Ax_1^n+Bx_2^n+C$$
trong đó $A, B, C$ là ba số mà ta sẽ xác định, $x_1,x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình: $x^2+ax+b=0$.

 

Ta có: $$u_{n}+au_{n-1}+bu_{n-2}= c\Leftrightarrow (u_{n}-x_1u_{n-1})-x_2(u_{n-1}-x_1u_{n-2})=c \ \ \forall n \geqslant 3$$

 
$(u_{n}-x_1u_{n-1})-x_2(u_{n-1}-x_1u_{n-2})=c$ (dòng 1)
 
$(u_{n-1}-x_1u_{n-2})-x_2(u_{n-2}-x_1u_{n-3})=c$ (dòng 2)
 
………………………………………..
 
$(u_{4}-x_1u_{3})-x_2(u_{3}-x_1u_{2})=c$ (dòng n-3)
 
$(u_{3}-x_1u_{2})-x_2(u_{2}-x_1u_{1})=c$ (dòng n-2)

 

Nhân dòng thứ 1 cho 1, dòng thứ 2 cho $x_2$ … và nhân với dòng n-2 cho $x_1^{n-3}$, rồi cộng tất cả đẳng thức tạo thành, khử các biểu thức giống nhau ta có kết quả:
$$(u_{n}-x_1u_{n-1})-x_2^{n-2}(u_{2}-x_1u_{1})=c.\dfrac{1-x_2^{n-2}}{1-x_2}$$
Thu gọn ta có: $$u_{n}-x_1u_{n-1}=\alpha x_2^{n-2}+\beta$$ trong đó $\alpha$ và $\beta$ được tạo thành từ sự gọn đẳng thức.
 

Lại thực hiện các thao tác tương tự như trên cho đẳng thức $$u_{n}-x_1u_{n-1}=\alpha x_2^{n-2}+\beta$$ ta có:

$$u_n=Ax_1^n+Bx_2^n+C$$

trong đó $A, B, C$ được tạo thành từ việc thu gọn các đẳng thức một cách hoàn toàn tương tự.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

TS. Nguyễn Thái Sơn
Nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). /n Nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). /n Nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). /n Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Giải phần đại số thi HSG MTCT Q1 – 2024

  GIẢI $\overline{abc}=b^7+20(a^2-2b)+8c ⇔ 100a+10b+c=b^7+20(a^2-2b)+8c$   $⇔ c=\dfrac{100a+10b-b^7-20(a^2-2b)}{7}$ Mở một bảng tính mới. Cột A …