Số hạng tổng quát của dãy số quy nạp (bài 2)

Cho dãy số $(u_n)$ xác đinh bởi: $$\left\lbrace\begin{array}{l}u_1=u; u_2=v\\ u_{n}+au_{n-1}+bu_{n-2}= c\ \ \forall n \geqslant 3 \end{array}\right.$$
trong đó $a,b,c \in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng số hạng tổng quát của dãy số nói trên được xác định bởi $$u_n=Ax_1^n+Bx_2^n+C$$
trong đó $A, B, C$ là ba số mà ta sẽ xác định, $x_1,x_2$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình: $x^2+ax+b=0$.

 

Ta có: $$u_{n}+au_{n-1}+bu_{n-2}= c\Leftrightarrow (u_{n}-x_1u_{n-1})-x_2(u_{n-1}-x_1u_{n-2})=c \ \ \forall n \geqslant 3$$

 
$(u_{n}-x_1u_{n-1})-x_2(u_{n-1}-x_1u_{n-2})=c$ (dòng 1)
 
$(u_{n-1}-x_1u_{n-2})-x_2(u_{n-2}-x_1u_{n-3})=c$ (dòng 2)
 
………………………………………..
 
$(u_{4}-x_1u_{3})-x_2(u_{3}-x_1u_{2})=c$ (dòng n-3)
 
$(u_{3}-x_1u_{2})-x_2(u_{2}-x_1u_{1})=c$ (dòng n-2)

 

Nhân dòng thứ 1 cho 1, dòng thứ 2 cho $x_2$ … và nhân với dòng n-2 cho $x_1^{n-3}$, rồi cộng tất cả đẳng thức tạo thành, khử các biểu thức giống nhau ta có kết quả:
$$(u_{n}-x_1u_{n-1})-x_2^{n-2}(u_{2}-x_1u_{1})=c.\dfrac{1-x_2^{n-2}}{1-x_2}$$
Thu gọn ta có: $$u_{n}-x_1u_{n-1}=\alpha x_2^{n-2}+\beta$$ trong đó $\alpha$ và $\beta$ được tạo thành từ sự gọn đẳng thức.
 

Lại thực hiện các thao tác tương tự như trên cho đẳng thức $$u_{n}-x_1u_{n-1}=\alpha x_2^{n-2}+\beta$$ ta có:

$$u_n=Ax_1^n+Bx_2^n+C$$

trong đó $A, B, C$ được tạo thành từ việc thu gọn các đẳng thức một cách hoàn toàn tương tự.

Chia sẻ

About TS. Nguyễn Thái Sơn

BQT Toán Casio
nguyên trưởng Khoa Toán-Tin học ĐHSP TP HCM (1999-2009). nguyên Giám đốc- Tổng biên tập NXB ĐHSP TP HCM (2009-2011). nguyên Tổng thư ký Hội Toán học TP HCM (2008-2013). Giảng viên thỉnh giảng ĐHSP TP HCM.

Bài Viết Tương Tự

Hệ thống các bài toán BĐT trong các bài thi tuyển sinh 10 của SGD và ĐT Hà Nội trong những năm gần đây (bài 2)

  Bài 4: Năm 2017: Với các số thực $a, b$ và $c$ thoả mãn …

×

Sai số! tác hại to lớn của việc sử dụng máy tính Casio giả và cách phòng tránh Chi tiết