BITEXEDU Chuyên trang chia sẻ tài liệu, kinh nghiệm ứng dụng giải toán trên máy tính cầm tay
Các phép tính với số $(a+b\sqrt{c})^n+(a-b\sqrt{c})^n\quad (a, b, c \in \mathbb{N})$.
- 05/08/2024
- 396 lượt xem
| Chúng ta biết máy tính Casio fx-880BTG có khả năng hiển thị đến 23 chữ số. Tuy nhiên đến chữ số thứ 23 thì kết quả không ổn định, nghĩa là sẽ có phép tính hiển thị đúng và có phép tính hiển thị sai. Theo một số tính toán thông dụng, khả năng máy tính Casio fx-880BTG hiển thị chính xác đến 22 chữ số là đáng tin cậy. |
Xét phép tính $(2+\sqrt3)^{38}+(2-\sqrt3)^{38}$
Kết quả ta nhận được một số nguyên có 22 chữ số: Đối chiếu với Geogebra: |
Khi $n=39$ máy tính Casio fx-880BTG cho kết quả 
Kết quả này là một số nguyên có 23 chữ số và sai một đơn vị so với giá trị đúng của nó được thực hiện bởi geogebra: 
| Tóm lại nếu $n \leqslant 38$ thì kết quả của phép tính $(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n$ có thể được sử dụng trên máy tính Casio fx-880BTG để thực hiện các phép tính số học tiếp theo. |
Ví dụ:
 |
| Nâng cao. Bây giờ ta xét một bài toán phức tạp hơn. Tìm dư của phép chia số $A=(2+3\sqrt5)^{44}+(2-3\sqrt5)^{44}$ cho $2024$. Bài toán do thầy Nhut Nguyen (Cộng đồng Giáo viên Casio) đề nghị. |
Ngoài Phương pháp mà thầy Nhut Nguyen đã trình bày trên trang nói trên, chúng tôi mời các GV phụ trách đội tuyển tham khảo thêm lời giải sau đây:
Ta đặt
$C=(2+3\sqrt5)^{11}+(2-3\sqrt5)^{11}$
$B=(2+3\sqrt5)^{22}+(2-3\sqrt5)^{22}$
Khi đó:
$B=C^2-2.(-41)^{11}=C^2+2.41^{11}$, $\quad 41^{11}$ đồng dư với $921$ (mod $2024$) lưu vào $x$.
$A=B^2-2.(-41)^{22}=B^2-2.41^{22}$, $\quad 41^{22}$ đồng dư với $185$ (mod $2024$).
$C \equiv 1236$ (mod 2024) 
$B \equiv 1418$ (mod 2024) 
Vậy $A \equiv 522$ (mod 2024) 
kết luận: Dư của phép chia số $A=(2+3\sqrt5)^{44}+(2-3\sqrt5)^{44}$ cho $2024$ là $522$.
| Nhận xét: Theo lộ trình này ta tìm được dư của phép chia số $\overline{A}=(2+3\sqrt5)^{88}+(2-3\sqrt5)^{88}$ cho $2024$. $\overline{A}=A^2-2.(-41)^{44}=A^2-2.41^{44}$ $41^{44} \equiv 1841$ (mod 2024).
|
 |
About TS. Nguyễn Thái Sơn
